同余定理经典例题解析：求最小非负整数解

同余定理是数论中非常重要的概念之一，它主要用于解决整数之间的关系问题。下面我们来看一个经典的同余定理例题：

例题：求出满足下列条件的最小非负整数x：

x ≡ 3(mod 4) x ≡ 4(mod 5) x ≡ 5(mod 7)

解析：

这个例题可以用中国剩余定理来解决，但是我们首先来看看同余定理的解法。根据同余定理，如果两个数a和b除以m所得的余数相同，那么它们就是同余的，可以用符号'≡'表示。

根据题目所给的条件，我们可以得到以下三个同余式：

x ≡ 3(mod 4) …(1) x ≡ 4(mod 5) …(2) x ≡ 5(mod 7) …(3)

由于我们要求的是最小非负整数x，因此我们可以先从第一个同余式开始，逐步推导出x的范围。根据第一个同余式，我们可以得到：

x = 4k + 3 (k为任意整数)

将这个式子代入第二个同余式中，可以得到：

4k + 3 ≡ 4(mod 5)

解得k ≡ 1(mod 5)

将k = 5m + 1代入第一个同余式中，可以得到：

x = 4k + 3 = 4(5m + 1) + 3 = 20m + 7

将这个式子代入第三个同余式中，可以得到：

20m + 7 ≡ 5(mod 7)

解得m ≡ 6(mod 7)

将m = 7n + 6代入x = 20m + 7中，可以得到：

x = 20(7n + 6) + 7 = 140n + 127

因此，满足条件的最小非负整数x为127。

综上所述，我们可以通过同余定理来解决这个例题，从而得到x的范围，并最终求出满足条件的最小非负整数x。同余定理在数论中有着广泛的应用，能够帮助我们理解整数之间的关系，解决各种数学问题。