根号1加x平方积分详解：三角代换与分部积分

题目要求我们求解 '∫√(1+x²) dx'，可以通过三角代换或者分部积分来解决这个问题。

首先考虑三角代换，令 'x = tan t'，则 'dx = sec² t dt'，并且 '√(1+x²) = √(1+tan² t) = sec t'。将 'x' 和 'dx' 用 't' 表示后，原积分变为：

∫√(1+x²) dx = ∫ sec t · sec² t dt = ∫ sec³ t dt

这个积分可以通过分部积分来求解。设 'u = sec t'，则 'du = sec t tan t dt'，'dv = sec² t dt'，'v = tan t'。代入分部积分公式得到：

∫ sec³ t dt = sec t tan t - ∫ tan² t sec t dt

因为 'tan² t = sec² t - 1'，所以

∫ tan² t sec t dt = ∫ (sec³ t - sec t) dt = 1/2 sec t tan t - ln|sec t + tan t| + C

带回原式得到：

∫√(1+x²) dx = sec t tan t - 1/2 sec t tan t + ln|sec t + tan t| + C = √(1+x²) + ln|x+√(1+x²)| + C

因此，原积分的解为 '√(1+x²) + ln|x+√(1+x²)| + C'。