有限个有理数能得到无理数吗？ - 证明与解释

答案是肯定的。事实上，只需要考虑一个简单的例子就可以得出结论。

考虑求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。如果把$a,b,c$取为有理数，那么$x$就是一个代数数。但是，如果$b^2-4ac$是一个正整数但不是完全平方数，那么$x$就是一个无理数。

现在，我们来证明这个结论。假设有限个有理数能得到一个无理数，即存在有理数$x_1,x_2,\cdots,x_n$，使得$x=x_1+x_2+\cdots+x_n$，其中$x$是一个无理数。我们可以把所有有理数放在一个集合里，即$S={x_1,x_2,\cdots,x_n}$。那么，$x$就是$S$的一个线性组合。

现在，我们来看$S$的性质。首先，$S$是有限的。其次，$S$中的元素都是有理数。因此，$S$是一个有理数向量空间。但是，由于$x$是无理数，所以$x$不在$S$的线性空间内。这就导致了一个矛盾：$x$是$S$的线性组合，但又不在$S$的线性空间内。

因此，我们得出结论：有限个有理数不能得到一个无理数。这个结论可以更进一步地扩展到实数和复数。