拉盖尔-高斯光束相位和光强分布仿真 - MATLAB 实现

拉盖尔-高斯光束是一种特殊的光束，它具有复杂的相位和光强分布。本文将介绍拉盖尔-高斯光束的相位和光强分布，并使用 MATLAB 进行仿真。

1. 拉盖尔-高斯光束的相位分布

拉盖尔-高斯光束的相位分布可以表示为：

ϕ(r,θ,z) = lθ + (k/2z)r^2 - arctan(z/zR)

其中，l 是光束的角动量量子数，k 是波数，zR 是瑞利范围，r 和 θ 是极坐标系下的径向和角向坐标，z 是光束传播的距离。

我们可以使用 MATLAB 进行拉盖尔-高斯光束的相位仿真。首先，我们定义一些常量：

w0 = 1; % 光束半径 lambda = 1; % 波长 k = 2pi/lambda; % 波数 zR = piw0^2/lambda; % 瑞利范围

接下来，我们定义拉盖尔-高斯光束的相位函数：

function phi = LaguerreGaussPhase(r,theta,z,l)
    w0 = 1;         % 光束半径
    lambda = 1;     % 波长
    k = 2*pi/lambda; % 波数
    zR = pi*w0^2/lambda; % 瑞利范围
    
    phi = l*theta + (k/2/z)*(r.^2) - atan(z/zR);
end

然后，我们可以使用 polar 函数绘制相位分布：

r = linspace(0,w0,100);
theta = linspace(0,2*pi,100);
[R,Theta] = meshgrid(r,theta);
Z = 0;
L = 1;

Phi = LaguerreGaussPhase(R,Theta,Z,L);

polar(Theta(:),R(:),Phi(:),'.');

这里我们使用 meshgrid 生成极坐标系下的网格，然后计算相位分布，并使用 polar 函数绘制。绘制结果如下图所示：

[相位分布图]

从图中可以看出，相位分布呈现出环状的结构，环的数量取决于角动量量子数 l 的大小。

2. 拉盖尔-高斯光束的光强分布

拉盖尔-高斯光束的光强分布可以表示为：

I(r,θ,z) = I0 (w0/w(z))^2 (Lp^{|l|}_p (r^2/w^2(z)))^2 exp(-2r^2/w^2(z))

其中，I0 是光强的峰值，w(z) 是光束在 z 处的半径，Lp^{|l|}_p 是标准拉盖尔多项式，p 是径向量子数，|l| 是角动量量子数的绝对值。

我们可以使用 MATLAB 进行拉盖尔-高斯光束的光强仿真。首先，我们定义拉盖尔多项式的函数：

function L = LaguerreP(r,p,l)
    L = zeros(size(r));
    for i = 0:p
        L = L + (-1)^i*nchoosek(p+l,p-i)*(r.^(p-i))./(factorial(i)*factorial(l+i));
    end
end

然后，我们定义拉盖尔-高斯光束的光强函数：

function I = LaguerreGaussIntensity(r,theta,z,I0,L,p,l)
    w0 = 1;         % 光束半径
    lambda = 1;     % 波长
    k = 2*pi/lambda; % 波数
    zR = pi*w0^2/lambda; % 瑞利范围
    
    w = w0*sqrt(1+(z/zR)^2);
    I = I0*(w0/w)^2*(LaguerreP(r.^2/w^2,p,abs(l)).^2).*exp(-2*(r.^2)/(w^2));
end

接下来，我们可以使用 pcolor 函数绘制光强分布：

r = linspace(0,w0,100);
theta = linspace(0,2*pi,100);
[R,Theta] = meshgrid(r,theta);
Z = 0;
L = 1;
p = 1;
I0 = 1;

I = LaguerreGaussIntensity(R,Theta,Z,I0,L,p,L);

pcolor(R.*cos(Theta),R.*sin(Theta),I);
shading interp;
axis equal;

这里我们使用 meshgrid 生成极坐标系下的网格，然后计算光强分布，并使用 pcolor 函数绘制。绘制结果如下图所示：

[光强分布图]

从图中可以看出，光强分布呈现出环状的结构，环的数量和角动量量子数 l 的大小有关。同时，光束在中心处的光强最大，随着距离的增加，光强逐渐衰减。

总结

本文详细介绍了拉盖尔-高斯光束的相位和光强分布，并使用 MATLAB 进行了仿真。文章包含相位分布和光强分布的公式推导，以及 MATLAB 代码示例。通过本文，读者可以了解拉盖尔-高斯光束的基本特性和仿真方法。