Fung模型最终公式及推导过程详解：生物组织力学模型

Fung模型最终公式及推导过程详解：生物组织力学模型

Fung模型是一种常用于描述生物组织非线性应变特性的生物力学模型。本文将详细介绍Fung模型的最终公式及其推导过程。

最终公式：

σ = JF^{-T}P(F)F^{-T}

其中：

• σ 为应力张量
• J 为体积比
• F 为形变张量
• P(F) 为应变能函数的一阶导数，也称为Piola-Kirchhoff应力张量

推导过程：

1. 假设组织是各向同性的弹性体，其应变能可以表示为：

W = (1/2)μ(tr(E)^2 - tr(E^2)) + (1/2)λ(tr(E))^2

其中：

• E 为应变张量
• μ 和 λ 为材料参数

2. 根据应变张量和形变张量的关系，可以得到：

E = (1/2)(C - I)

其中：

• C 为右Cauchy-Green应变张量
• I 为单位张量

3. 将 E 代入应变能公式，得到：

W = (1/4)μ(tr(C)^2 - tr(C^2)) + (1/2)λ(tr(C))^2 - (3/2)μ - (1/2)λtr(I)

4. 根据应力张量和应变能的关系，可以得到：

σ = ∂W/∂E

5. 将 E 代入上式，得到：

σ = (1/2)μ(tr(C)I - C) + λ(tr(C) - I)

6. 将 C 用形变张量 F 表示，得到：

σ = (1/2)μ(tr(FF^T)F^{-T} - FF^T) + λ(tr(FF^T) - 3)F^{-T}

7. 将应力张量表示为Piola-Kirchhoff应力张量，得到：

P(F) = JσF^{-T}

其中：

• J 为体积比

8. 将 P(F) 代入上式，得到Fung模型的最终公式：

σ = JF^{-T}P(F)F^{-T}

总结：

Fung模型通过应变能函数描述了生物组织的非线性应变特性，其最终公式表达了应力张量、形变张量和Piola-Kirchhoff应力张量之间的关系，为生物力学研究提供了重要的理论基础。