Fung 模型公式推导 - 生物组织力学模型详解

Fung 模型是一种常用的生物组织力学模型，用于描述组织的应力-应变关系。其公式推导如下：

假设组织是各向同性的，即在任何方向上都具有相同的性质。我们可以用三个主轴方向上的应变来描述组织的应变状态，分别为ε1、ε2和ε3。同时，我们可以用三个主轴方向上的应力来描述组织的应力状态，分别为σ1、σ2和σ3。

根据胡克定律，应力和应变之间的关系可以表示为：

σ1 = E1ε1 + E12(ε2 + ε3)

σ2 = E2ε2 + E12(ε1 + ε3)

σ3 = E3ε3 + E23(ε1 + ε2)

其中，E1、E2和E3分别是沿三个主轴方向的弹性模量，E12、E23和E13分别是剪切模量。

为了简化计算，我们可以将上述公式写成矩阵形式：

[σ1] [E1 E12 E13] [ε1] [σ2] = [E12 E2 E23] x [ε2] [σ3] [E13 E23 E3 ] [ε3]

我们可以将上述矩阵表示为 C，即：

[σ] [C] [ε]

其中，C 是组织的弹性张量，包含了组织在各个方向上的弹性性质。

Fung 模型将组织的弹性张量表示为 C = A(λ1^2 + λ2^2 + λ3^2) + B(λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1)，其中 λ1、λ2 和 λ3 是应变张量的主轴值，A 和 B 是模型参数。这个公式的基本思想是，组织的弹性性质取决于应变张量的主轴值和它们的组合方式。

将上述公式代入胡克定律的矩阵形式中，可以得到 Fung 模型的应力-应变关系：

[σ1] [A(λ1^2 + λ2^2 + λ3^2) + B(λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1)] [ε1] [σ2] = [A(λ1^2 + λ2^2 + λ3^2) + B(λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1)] x [ε2] [σ3] [A(λ1^2 + λ2^2 + λ3^2) + B(λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1)] [ε3]

这个公式描述了组织的应力-应变关系，可以用来预测组织在外力作用下的变形和应力分布。