一阶最优化条件：求解 q_{T-1} 的最优值

对$q_{T-1}$求一阶最优化条件，可以使用 Euler-Lagrange 方程：

$$ \frac{\partial L}{\partial q_{T-1}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{T-1}}=0 $$

其中$L$是拉格朗日量，$\dot{q}{T-1}$是$q{T-1}$的导数。

代入式子得：

$$ \begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial q_{T-1}}\left(-\gamma \delta\left(q_{T-1}\right)-\gamma q_{T-1} \alpha_{T-1}-\gamma q_{T-1} \beta_{T-1}^2 / 2\right)
&=-\gamma \delta^{\prime}\left(q_{T-1}\right)-\gamma \alpha_{T-1}-\gamma \beta_{T-1}^2 / 2 \end{aligned} $$

其中$\delta^{\prime}(q_{T-1})$是$\delta(q_{T-1})$对$q_{T-1}$的导数。

因此，对$q_{T-1}$求一阶最优化条件为：

$$ \delta^{\prime}\left(q_{T-1}\right)+\alpha_{T-1}+\beta_{T-1}^2 / 2=0 $$