资源分配模型的差分方程形式

本文将介绍如何将资源分配模型的微分方程形式转换为差分方程形式。/n/n原方程形式如下:/n/n$$/n/n\mathrm{d}/n/n{/n\widehat{/nR/n}/n}_k^{/n{q}_k/n}/n(/nt/n(/n=/n\left[/n{\theta }_k/n-/n{\eta }_k/n+/n\left(/n1/n+/n{\eta }_k/n\right)/n{q}_k/n(/nt/n(/n\right]/n{\lambda }_k/n{\mu }_k/n/n/n\mathrm{d}/n/nt/n-/n{q}_k/n(/nt/n(/n/n\mathrm{d}/n/n\underset{/ni/n=/n1/n}{\overset{/nN/nk/n(/nt/n(/n}{/n\sum /n}}/n/n /n/n{/n\mathrm{L}/n}_{/n/n\mathrm{k}/n/n}^i/n$$/n/n将微分符号 $/frac{d}{dt}$ 替换为差分符号 $/Delta$, 并用 $/Delta t$ 表示时间步长, 则原方程可以改写为:/n/n$$ /n/frac{R_k^{(q_k)}(t+/Delta t) - R_k^{(q_k)}(t)}{/Delta t} = /left[/theta_k - /eta_k + (1+/eta_k)q_k(t)/right]/lambda_k^{(q_k)}/mu_k^{(q_k)} - q_k(t)/sum_{i=1}^{N_k(t)}L_k^i/n$$/n/n其中, $R_k^{(q_k)}(t)$ 表示在时间 $t$ 时, 类别 $k$ 中的资源 $R$ 被分配给了 $q_k$ 类用户的数量, $/lambda_k^{(q_k)}$ 和 $/mu_k^{(q_k)}$ 分别表示 $k$ 类资源被 $q_k$ 类用户占用的速率和释放的速率, $N_k(t)$ 表示在时间 $t$ 时, 类别 $k$ 中的用户总数, $L_k^i$ 表示在时间 $t$ 时, 类别 $k$ 中第 $i$ 个用户所占用的资源数量./n/n化简后得到:/n/n$$ /nR_k^{(q_k)}(t+/Delta t) = R_k^{(q_k)}(t) + /Delta t /left[/theta_k - /eta_k + (1+/eta_k)q_k(t)/right]/lambda_k^{(q_k)}/mu_k^{(q_k)} - /Delta t q_k(t)/sum_{i=1}^{N_k(t)}L_k^i/n$$/n/n这就是差分方程形式的资源分配模型.