变换群 置换群 对称群 三者的定义 区别 联系

变换群、置换群和对称群是群论中的概念，它们之间存在一定的联系和区别。

1. 变换群（Transformation Group）：变换群是指一个集合上的一种运算，满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元的要求。在变换群中，元素是一种对给定集合的变换或映射，比如线性变换、仿射变换等。变换群的运算是变换的复合。

2. 置换群（Permutation Group）：置换群是指一个集合上的一种运算，其中元素是对给定集合进行重新排列的置换。置换群的运算是置换的复合。置换群中的元素称为置换，可以理解为对集合中元素的重新排列。

3. 对称群（Symmetric Group）：对称群是指一个有限集合上的全体置换构成的置换群。对称群的元素是对给定集合的全体置换，即全体可能的排列方式。对称群的运算是置换的复合。

区别：

• 变换群和置换群是更一般的概念，可以定义在任意集合上，而对称群是有限集合上的特殊置换群。
• 变换群中的元素可以是任意的变换或映射，而置换群和对称群的元素是对集合进行重新排列的置换。
• 对称群是置换群的一种特例，它是有限集合上的全体置换构成的置换群。

联系：

• 对称群是置换群的特例，即对称群是一种特殊的置换群。
• 对称群是在置换群的基础上研究的，对称群的性质和结构也可以应用到一般的置换群中。
• 变换群和置换群都是群论的重要研究对象，它们有着相似的性质和结构，都可以通过群的一般理论进行研究