请证明$sum_i=0^n c_n^i c_m^m-1=C_m+n^m$

我们可以使用组合恒等式来证明这个等式。

首先，我们可以将$c_n^i c_m^{m-1}$写成$c_n^i c_m^m$，然后将求和符号移到$c_m^m$前面，得到$\sum_{i=0}^n c_n^i c_m^m$。

接下来，我们考虑一个集合$S$，它包含了$m+n$个元素。我们想要从这个集合中选择$m$个元素作为一个子集$A$，并从剩下的$m+n-m=n$个元素中选择$i$个元素作为一个子集$B$。

我们可以使用组合恒等式来计算这个选择的数量。首先，我们可以从$S$中选择$m$个元素的子集的数量是$C_{m+n}^m$。然后，对于每个选定的$m$个元素的子集$A$，我们可以从剩下的$n$个元素中选择$i$个元素的子集的数量是$C_n^i$。

因此，我们得到了选择$m$个元素作为一个子集$A$，并从剩下的$m+n-m=n$个元素中选择$i$个元素作为一个子集$B$的总数量是$\sum_{i=0}^n c_n^i c_m^m$。

另一方面，我们知道这个选择的数量是$C_{m+n}^m$。因此，我们得到了$\sum_{i=0}^n c_n^i c_m^m=C_{m+n}^m$。

综上所述，我们证明了$\sum_{i=0}^n c_n^i c_m^{m-1}=C_{m+n}^m$