为什么$log_kN = fracln Nln k$

要理解为什么$\log_kN = \frac{\ln N}{\ln k}$，我们首先需要了解对数的换底公式。

对数的换底公式可以表示为：

$\log_kN = \frac{\log_bN}{\log_bk}$

其中，$N$是对数的底数，$k$是对数的真数，$b$是要换底的新底数。

在这个问题中，我们要证明的是$\log_kN = \frac{\ln N}{\ln k}$。其中，$N$是对数的底数，$k$是对数的真数，$\ln$表示自然对数。

我们可以将左边的对数表示为以$e$为底的对数，即：

$\log_kN = \frac{\ln N}{\ln k}$

这是因为自然对数的底数是$e$，所以我们可以将底数为$k$的对数转换为底数为$e$的对数。

然后，我们可以将分子和分母同时除以$\ln N$，得到：

$\frac{\ln N}{\ln k} = \frac{\frac{\ln N}{\ln N}}{\frac{\ln k}{\ln N}}$

由于$\frac{\ln N}{\ln N} = 1$，我们可以简化为：

$\frac{1}{\frac{\ln k}{\ln N}}$

最后，我们可以将分母取倒数，得到：

$\frac{\ln N}{\ln k}$

因此，我们证明了$\log_kN = \frac{\ln N}{\ln k}$