实变函数用bernstein定理证明：开区间02与闭区间【02】对等

首先，我们需要明确Bernstein定理的内容。

Bernstein定理是一个关于实变函数的定理，它指出，如果f是一个定义在闭区间[a, b]上的实变函数，并且在[a, b]上连续，则对于任意给定的正整数n，f在[a, b]上有一个n次的Bernstein多项式逼近。

接下来，我们来证明开区间(0, 2)与闭区间[0, 2]对等。

证明： 我们需要证明开区间(0, 2)中的任意实变函数g(x)存在一个在闭区间[0, 2]上的实变函数f(x)，使得g(x)和f(x)在(0, 2)上的取值完全相同。

我们可以通过构造一个函数f(x)来完成证明。具体地，我们定义f(x)如下：

当x = 0时，f(x) = g(0)； 当x = 2时，f(x) = g(2)； 当0 < x < 2时，f(x) = g(x)。

这样，我们可以看到，在开区间(0, 2)中，f(x)的取值和g(x)完全相同。

接下来，我们需要证明f(x)在闭区间[0, 2]上连续。

首先，我们可以看到f(x)在开区间(0, 2)上是连续的，因为g(x)在开区间(0, 2)上是连续的。

其次，我们需要证明f(x)在x = 0和x = 2处连续。

当x = 0时，根据定义，f(x) = g(0)，而g(0)是一个常数，因此f(x)在x = 0处是连续的。

当x = 2时，根据定义，f(x) = g(2)，而g(2)也是一个常数，因此f(x)在x = 2处是连续的。

综上所述，我们可以看到，在闭区间[0, 2]上，函数f(x)是连续的。

因此，根据Bernstein定理，开区间(0, 2)与闭区间[0, 2]对等。