与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为 𝛼 的斜线称 𝛼 为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。换一种说法描述这些内容

多波束测深是一种用于测量海底地形的技术。在这种技术中，测线方向与水平面垂直，并与海底坡面交线形成一条斜线，该斜线与水平面的夹角被称为坡度 𝛼。我们希望建立一个数学模型来描述多波束测深的覆盖宽度和相邻条带之间的重叠率。

覆盖宽度可以定义为从测线起点到终点的距离，即测线的长度。相邻条带之间的重叠率可以定义为相邻条带之间重叠部分的长度与条带宽度的比值。

假设测线的长度为 L，海底坡面的斜率为 k。我们可以使用三角函数来计算覆盖宽度和重叠率。

覆盖宽度可以表示为 L / cos(𝛼)。这是因为斜线长度与水平线长度之间的关系可以使用余弦函数来表示。

相邻条带之间的重叠率可以表示为 (L / cos(𝛼) - L) / (L / cos(𝛼))，即重叠部分的长度与条带宽度的比值。

换句话说，多波束测深的覆盖宽度与斜线的长度和坡度有关，而相邻条带之间的重叠率则取决于覆盖宽度和条带宽度的比值。