请证明varphiatimes p = varphia times p

根据群同态的定义，我们需要证明对于任意的$a \in G$和$p \in H$，有$\varphi(a \times p) = \varphi(a) \times p$。

首先，由于$a \in G$，则$a \times e_H = a$，其中$e_H$是群$H$的单位元素。根据同态的性质，我们有$\varphi(a \times e_H) = \varphi(a) \times e_H$。由于$e_H$是单位元素，所以$\varphi(a \times e_H) = \varphi(a)$，因此$\varphi(a) \times e_H = \varphi(a)$。

另一方面，由于$p \in H$，则$e_G \times p = p$，其中$e_G$是群$G$的单位元素。根据同态的性质，我们有$\varphi(e_G \times p) = \varphi(e_G) \times p$。由于$e_G$是单位元素，所以$\varphi(e_G \times p) = \varphi(p)$，因此$\varphi(e_G) \times p = \varphi(p)$。

现在，我们有$\varphi(a) \times e_H = \varphi(a)$和$\varphi(e_G) \times p = \varphi(p)$。将这两个等式相乘得到$(\varphi(a) \times e_H) \times (\varphi(e_G) \times p) = \varphi(a) \times \varphi(e_G) \times p$。由于群的乘法满足结合律，所以我们可以改变括号的顺序得到$\varphi(a) \times (\varphi(e_G) \times p) = \varphi(a) \times \varphi(e_G) \times p$。

根据同态的性质，$\varphi(e_G)$是群$H$的单位元素$e_H$，所以$\varphi(a) \times (\varphi(e_G) \times p) = \varphi(a) \times e_H \times p$。同样地，根据群的乘法的性质，$e_H \times p = p$，所以$\varphi(a) \times e_H \times p = \varphi(a) \times p$。

综上所述，我们证明了$\varphi(a \times p) = \varphi(a) \times p$