若 a 是质数 p 的倍数。请证明varphiatimes p = varphia times pvarphi为欧拉函数

根据欧拉函数的定义，对于任意正整数 n，欧拉函数 φ(n) 表示小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。

首先我们可以将 a 表示为 a = pk，其中 k 是一个正整数。因为 a 是质数 p 的倍数，所以 a 一定不和 p 互质，即 φ(a) = φ(pk) = pk - pk/p = pk(1 - 1/p)。

我们知道，对于任意两个正整数 m 和 n，如果它们互质，那么 φ(mn) = φ(m)φ(n)。因此，我们可以将 a 和 p 分别看作是两个互质的正整数，即 φ(a × p) = φ(a)φ(p)。

因为 p 是质数，所以 φ(p) = p - 1。将这个结果代入上式，我们得到 φ(a × p) = φ(a) × (p - 1)。

又因为 a = pk，所以 φ(a × p) = φ(pk × p) = φ(p^2k) = p^2k - p^2k/p = p^2k(1 - 1/p) = p(1 - 1/p) × p^k = φ(a) × p。

综上所述，我们证明了 φ(a × p) = φ(a) × p。