请证明varphiatimes p = varphia times pvarphi为欧拉函数

首先给出欧拉函数的定义：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。

要证明的是：φ(a × p) = φ(a) × p，其中a和p均为正整数，且p为质数。

证明：

由于p为质数，所以p与任意不被p整除的正整数互质。

对于任意正整数x，如果x与a互质，则x与a × p也互质。

反之，如果x与a × p互质，则x与a也互质。因为如果x与a不互质，即存在一个正整数d，使得d是x和a的公约数，那么d也是x和a × p的公约数，因此x和a × p不互质。

综上所述，a × p与a互质的正整数个数等于a × p与a × p互质的正整数个数。

根据欧拉函数的定义，φ(a × p)表示小于等于a × p且与a × p互质的正整数的个数。

同样地，φ(a)表示小于等于a且与a互质的正整数的个数。

由于p为质数，所以小于等于a × p且与a × p互质的正整数可以分为两类：一类是小于等于a且与a互质的正整数，另一类是大于a且与a × p互质的正整数。

小于等于a且与a互质的正整数的个数为φ(a)。

大于a且与a × p互质的正整数的个数为φ(p)。

由于p为质数，所以与p互质的正整数个数为p-1。

因此，小于等于a × p且与a × p互质的正整数的个数为φ(a) + φ(p) = φ(a) + (p-1) = φ(a) × p。

即证得：φ(a × p) = φ(a) × p