点到集合距离为0的充要条件：接触点

要证明点到集合的距离为0，当且仅当点是接触点，我们需要证明两个方向。

证明方向一：如果点到集合的距离为0，则点是接触点。

假设点P到集合S的距离为0，即d(P, S) = 0。根据距离的定义，对于任意ε > 0，存在集合S中的点Q，使得d(P, Q) < ε。由于ε可以任意小，我们可以取一个无限接近于0的数列{εn}，使得d(P, Qn) < εn，其中Qn是集合S中的点。

考虑点P和数列{Qn}的极限。由于εn无限接近于0，那么点P和数列{Qn}的极限点应该是同一个点。假设极限点为Q，则Q是集合S中的点，且d(P, Q) = 0。因此，点P是接触点。

证明方向二：如果点是接触点，则点到集合的距离为0。

假设点P是集合S的接触点，即对于任意ε > 0，存在集合S中的点Q，使得d(P, Q) < ε。我们需要证明d(P, S) = 0。

根据距离的定义，d(P, S) = inf{d(P, Q) | Q ∈ S}。由于对于任意ε > 0，存在集合S中的点Q，使得d(P, Q) < ε，所以inf{d(P, Q) | Q ∈ S} ≤ ε。由于ε可以任意小，所以inf{d(P, Q) | Q ∈ S} = 0，即d(P, S) = 0。

综上所述，点到集合的距离为0，当且仅当点是接触点。证毕。