口罩配送问题由于新冠肺炎疫情影响医用口罩的需求量日益增加。某中学班主任了解到班里 20 名学生的家庭所在小区每周均发放到家庭一定数量的免费医用口罩于是班主任想到了一个口罩共享方案。通过联系各个家庭了解到每个学生家庭每周拥有的口罩数量以及最低需求口罩数量有些家庭是口罩数量不足而有些家庭是有充足的口罩如表 1 所示。假设这 20 个家庭每周拥有固定口罩总量及固定需求总量。1表 1 显示了班主任和各个学

首先，需要计算班主任到各个口罩充足的家庭的距离，可以使用欧氏距离公式：

distance = sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2)

然后，根据距离从小到大排序，选择最近的家庭作为第一个访问点，之后依次选择最近的未访问家庭作为下一个访问点，直到所有口罩充足的家庭都被访问。
最后，计算所有访问点之间的距离和，作为班主任的最短路程。

代码实现：

%输入口罩充足的家庭坐标 coord = [32 15; 24 9; 34 26; 37 23; 33 3; 42 8; 50 23; 53 16; 55 38; 7 42];

%输入班主任坐标 start_coord = [30 35];

%计算班主任到各个口罩充足的家庭的距离 distances = zeros(length(coord),1); for i = 1:length(coord) distances(i) = sqrt((start_coord(1)-coord(i,1))^2 + (start_coord(2)-coord(i,2))^2); end

%根据距离从小到大排序 [sorted_distances, index] = sort(distances);

%依次选择最近的未访问家庭作为下一个访问点 path = [start_coord; coord(index,:)]; visited = zeros(length(coord),1); visited(index(1)) = 1; for i = 2:length(coord) min_distance = Inf; min_index = 0; for j = 1:length(coord) if visited(j) == 0 && distances(j) < min_distance min_distance = distances(j); min_index = j; end end path = [path; coord(min_index,:)]; visited(min_index) = 1; end

%计算所有访问点之间的距离和 total_distance = 0; for i = 1:length(path)-1 total_distance = total_distance + sqrt((path(i,1)-path(i+1,1))^2 + (path(i,2)-path(i+1,2))^2); end

%输出最短路程 fprintf('The shortest distance is %.2f km\n', total_distance);

针对口罩共享方案，可以设计一个最小费用流模型，将口罩充足的家庭作为供应节点，口罩不足的家庭作为需求节点，通过快递配送将口罩从供应节点流向需求节点，使得总费用最小。

具体模型如下：

1）构建有向图$G=(V,E)$，其中$V$为节点集合，$E$为边集合。

2）对于每个家庭，将其拆分为两个节点，一个表示供应节点，另一个表示需求节点。

3）对于每个供应节点和需求节点，分别在图中加入两个对应的节点，并在它们之间连一条边，边权为该家庭拥有的口罩数量。

4）对于每个需求节点，从其对应的供应节点向其连一条容量为需求量的边，边权为快递费用。

5）对于每个供应节点和需求节点，从源点向其对应的供应节点连一条容量为该家庭拥有的口罩数量的边，边权为0。

6）对于每个供应节点和需求节点，从其对应的需求节点向汇点连一条容量为需求量的边，边权为0。

7）对图$G$运用最小费用流算法，得到总费用，即为最省钱的口罩共享方案。

代码实现：

%输入每个家庭的供应量和需求量 supply = [30;23;34;37;33;42;50;53;55;7]; demand = [5;6;10;8;17;13;20;26;29;20];

%计算每对供应节点和需求节点的快递费用 distances = zeros(length(supply),length(demand)); for i = 1:length(supply) for j = 1:length(demand) distances(i,j) = sqrt((coord(i,1)-coord(supply_index(j),1))^2 + (coord(i,2)-coord(supply_index(j),2))^2); end end transport_cost = distances * 0.5;

%构建网络流模型 supply_nodes = 1:length(supply); demand_nodes = (1:length(demand)) + length(supply); num_nodes = length(supply) + length(demand) + 2; num_arcs = length(supply) * length(demand) + length(supply) + length(demand);

%初始化边集合和边属性 arcs = zeros(num_arcs,3); arc_costs = zeros(num_arcs,1); arc_capacities = zeros(num_arcs,1); count = 1;

%加入源点和汇点 for i = 1:length(supply_nodes) arcs(count,:) = [num_nodes-1 supply_nodes(i) supply(i)]; arc_costs(count) = 0; arc_capacities(count) = supply(i); count = count + 1; end for i = 1:length(demand_nodes) arcs(count,:) = [demand_nodes(i) num_nodes 0]; arc_costs(count) = 0; arc_capacities(count) = demand(i); count = count + 1; end

%加入供应节点和需求节点 for i = 1:length(supply_nodes) for j = 1:length(demand_nodes) arcs(count,:) = [supply_nodes(i) demand_nodes(j) transport_cost(i,j)]; arc_costs(count) = transport_cost(i,j); arc_capacities(count) = Inf; count = count + 1; end end

%运用最小费用流算法 [flow,cost] = min_cost_flow(arcs,arc_costs,arc_capacities,num_nodes,num_arcs,num_nodes-1,num_nodes);

%输出总费用 fprintf('The total cost is %.2f yuan\n', cost);

针对第三问，可以采用贪心算法，首先将所有家庭按照需求量从小到大排序，然后从需求量最小的家庭开始，选择距离其最近的快递点作为配送点，并将该家庭的需求量从快递点的供应量中扣除，直到所有家庭的需求量都被满足。

需要注意的是，由于快递费用提高到了1元/km，因此需要重新计算每对供应节点和需求节点的快递费用。

代码实现：

%重新计算每对供应节点和需求节点的快递费用 distances = zeros(length(supply),length(demand)); for i = 1:length(supply) for j = 1:length(demand) distances(i,j) = sqrt((coord(i,1)-coord(supply_index(j),1))^2 + (coord(i,2)-coord(supply_index(j),2))^2); end end transport_cost = distances * 1;

%按照需求量从小到大排序 [sorted_demand, index] = sort(demand);

%设定快递点个数 num_delivery_points = 4;

%初始化每个快递点的供应量 delivery_supply = zeros(num_delivery_points,1); for i = 1:num_delivery_points delivery_supply(i) = sum(supply) / num_delivery_points; end

%初始化每个家庭的快递点编号 delivery_index = zeros(length(demand),1);

%依次将每个家庭分配到最近的快递点 for i = 1:length(demand) min_distance = Inf; min_index = 0; for j = 1:num_delivery_points distance = sqrt((coord(demand_index(index(i)),1)-coord(delivery_index(j),1))^2 + (coord(demand_index(index(i)),2)-coord(delivery_index(j),2))^2); if distance < min_distance && delivery_supply(j) >= demand(index(i)) min_distance = distance; min_index = j; end end delivery_index(index(i)) = min_index; delivery_supply(min_index) = delivery_supply(min_index) - demand(index(i)); end

%计算总费用 total_cost = 0; for i = 1:length(supply) for j = 1:length(demand) if delivery_index(j) ~= 0 && distances(i,demand_index(j)) < Inf total_cost = total_cost + transport_cost(i,demand_index(j)) * demand(j); end end end

%输出总费用和快递点位置 fprintf('The total cost is %.2f yuan\n', total_cost); fprintf('The delivery points are located at:\n'); for i = 1:num_delivery_points fprintf('(%d,%d)\n', coord(delivery_index(i),1), coord(delivery_index(i),2)); end

与第二问相比，第三问的方案更加节约成本，因为快递费用提高到了1元/km，而且采用了快递点配送，避免了快递员在小区内来回送货的浪费