函数f是严格凸的怎么利用Danskin定理证明对偶函数是可微的？

根据Danskin定理，对于凸函数$f$和其次梯度集合$G(x)$，存在一个函数$g$，使得对于任意$x\in dom(f)$，都有：

$$ g(y) = \inf_{u\in G(x)}{u^T(y-x)+f(x)} $$

同时，$g$是$f$的下确界函数，即$g(x)=f(x)$，并且$g$也是凸函数。

根据对偶函数的定义，我们有：

$$ g^*(y) = \sup_{x\in dom(f)}{y^Tx-f(x)} $$

我们需要证明$g^$是可微的。根据Fenchel-Rockafellar定理，$g^$的次梯度集合为：

$$ \partial g^(y) = {x\in dom(g^) | g^(z) \geq g^(y) + (z-y)^Tx, \forall z\in dom(g^*)} $$

我们需要证明$\partial g^(y)$非空，即存在一个$x$，满足对于任意$z$都有$g^(z) \geq g^*(y) + (z-y)^Tx$。

根据定义，$g^*(y) = \sup_{x\in dom(f)}{y^Tx-f(x)}$，可以得到：

$$ y^Tx - g^*(y) \leq f(x) $$

因为$f$是严格凸的，所以$f(x)$在$x$处的次梯度集合非空，即存在一个$u\in\partial f(x)$，满足对于任意$y\in dom(f)$都有：

$$ f(y) \geq f(x) + u^T(y-x) $$

将上式代入上面的不等式中，得到：

$$ y^Tx-g^*(y) \leq f(x) \leq f(y) - u^T(y-x) $$

移项可得：

$$ g^*(y) \geq y^Tx - u^T(y-x) = (u-y)^Tx + y^Tx-f(x) $$

因为$u\in \partial f(x)$，所以$u\in G(x)$，我们可以将上式再次变形：

$$ g^*(y) \geq \inf_{u\in G(x)}{(u-y)^Tx + y^Tx-f(x)} = g(x) - y^T(x-y) $$

因为$g(x)=f(x)$，所以：

$$ g^*(y) \geq f(x) - y^T(x-y) $$

因此，我们得到了一个$x$，满足对于任意$y$都有$g^(y) \geq f(x) - y^T(x-y)$，即$x\in \partial g^(y)$。

因此，我们证明了$\partial g^(y)$非空，即$g^$是可微的