一维定态薛定谔方程变为矩阵式

一维定态薛定谔方程为：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$$

将其转化为矩阵式，需要将波函数离散化，即将$x$的连续变量离散化为一系列离散点$x_i$，波函数在每个离散点$x_i$处的取值$\psi_i$也被离散化。设离散点的数量为$N$，则有：

$$x_i = i\Delta x, ~~i=0,1,2,...,N-1$$

其中$\Delta x$为离散点之间的间距。

我们可以将二阶导数$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}$用中心差分的方式离散化：

$$\frac{d^2\psi(x_i)}{dx^2} \approx \frac{\psi_{i+1}-2\psi_i+\psi_{i-1}}{\Delta x^2}$$

则原方程变为：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi_{i+1}-2\psi_i+\psi_{i-1}}{\Delta x^2} + V(x_i)\psi_i = E\psi_i$$

将其整理可得：

$$-\frac{\hbar^2}{2m\Delta x^2} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & -2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_0 \ \psi_1 \ \psi_2 \ \vdots \ \psi_{N-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} V(x_0) & 0 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & V(x_1) & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & V(x_2) & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & V(x_{N-1}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_0 \ \psi_1 \ \psi_2 \ \vdots \ \psi_{N-1} \end{pmatrix} = E \begin{pmatrix} \psi_0 \ \psi_1 \ \psi_2 \ \vdots \ \psi_{N-1} \end{pmatrix}$$

其中第一个矩阵为二阶差分矩阵，第二个矩阵为势能矩阵。因此，一维定态薛定谔方程被转化为一个矩阵本征值问题，可以用数值方法求解