一个半径为 b的球内充满密度为 ρ=b^2-r^2的电荷试采用直接积分法计算球内外的电场强度。

根据高斯定理，球内外电场强度的积分可以转换为球内外电荷的积分。因此，我们可以先计算球内外的电荷量，然后根据高斯定理计算电场强度。

首先，计算球内的电荷量。我们可以将球内的电荷分成许多小的电荷元，每个电荷元的体积为 dV=4πr^2dr，电荷量为 dQ=ρdV=(b^2-r^2)4πr^2dr。因此，球内的电荷量可以表示为：

Q = ∫dQ = ∫_0^b (b^2-r^2)4πr^2dr = 4π∫_0^b (b^2r^2-r^4)dr = 4π(b^2/3-b^4/5) = 4πb^2(1/3-1/5) = 8πb^2/15

接下来，我们可以使用高斯定理计算球内外的电场强度。由于球内外的电荷分布是球对称的，我们可以使用球对称性来简化计算。根据高斯定理，球内外的电场强度 E 满足：

∮E·dA = Q/ε0

其中，左侧的积分是球的表面积分，右侧是球内的电荷量除以真空介电常数 ε0。

由于球外的电荷量为零，球外的电场强度为零。因此，我们只需要计算球内的电场强度。由于球内的电荷分布是球对称的，我们可以使用高斯定理简化计算。我们可以选择球心为高斯面，这样球内的电场强度在高斯面上处处相等。此外，由于高斯面的面积为 4πb^2，因此高斯定理可以表示为：

E·4πb^2 = Q/ε0

将 Q 的值代入上式，得到球内的电场强度为：

E = Q/(4πb^2ε0) = (8πb^2/15)/(4πb^2ε0) = 2/(5ε0)

因此，球内的电场强度为 2/(5ε0)，球外的电场强度为零