运用大学数学概率论相关知识计算下题设X的联合率密度函数为;当x0y0x+y1时pxy=Ax1-x-y当其他情况下pxy=0其中A为待定常数求;1A;2PYX;3 P Y = X;4求X的边缘密度函数5求X的数学期望

(1) 由于$p(x,y)$在$x>0,y>0,x+y<1$时才不为零，因此可以求出$p(x,y)$在该区域的积分，得到 $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} Ax(1-x-y)dydx=\frac{A}{6}$$ 又因为$p(x,y)$为联合概率密度函数，因此应有 $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} Ax(1-x-y)dydx=1$$ 解得$A=6$。

(2) $P(Y>X)=\iint_{y>x}p(x,y)dxdy=\iint_{y>x}6x(1-x-y)dxdy=\frac{1}{4}$。

(3) $P(Y=X)=\iint_{y=x}p(x,y)dxdy=\iint_{y=x}6x(1-x-y)dxdy=0$。因为在$y=x$上积分的结果为零。

(4) $X$的边缘概率密度函数为 $$f_X(x)=\int_{0}^{1-x}p(x,y)dy=6x\int_{0}^{1-x}(1-x-y)dy=3x(1-x)^2$$

(5) $X$的数学期望为 $$E(X)=\int_{0}^{1}xf_X(x)dx=\int_{0}^{1}3x^2(1-x)^2dx=\frac{1}{20}$