证明距离空间可分，其子空间也可分 | 详细解析与示例

假设距离空间X可分，即存在一个可数稠密子集D={x1, x2, x3, ...}，其中xi表示X中的元素。\n\n现在考虑X的任意一个子空间Y，即Y是X的一个子集，并且满足对于任意的x, y∈Y和任意的标量α，有αx + (1-α)y∈Y。我们需要证明Y也是可分的。\n\n我们定义Y中的一个可数稠密子集D'={y1, y2, y3, ...}，其中yi∈D∩Y。也就是说，D'是D中的元素在Y中的取值。\n\n对于任意的y∈Y，我们可以将其表示为y=α1y1 + α2y2 + ...，其中αi为标量。由于D是X的一个可数稠密子集，所以我们可以找到一个序列{xn}⊆D，满足xn→y（即xn收敛到y）。\n\n我们可以将每个xn表示为xn=β1x1 + β2x2 + ...，其中βi为标量。由于Y是X的一个子空间，所以xn∈Y。因此，我们可以将y表示为：\n\ny = lim(n→∞)xn = lim(n→∞)(β1x1 + β2x2 + ...) = β1lim(n→∞)x1 + β2lim(n→∞)x2 + ...\n\n由于D是可数集，所以对于每个i，lim(n→∞)xi都存在。因此，我们可以将y表示为：\n\ny = β1x1' + β2x2' + ...\n\n其中x1' = lim(n→∞)x1，x2' = lim(n→∞)x2，...。由于D是可数集，所以D'也是可数集。\n\n因此，我们找到了一个可数稠密子集D'⊆Y，证明了Y是可分的。