根据哈密顿量的定义我们有 $H = sumlimits_sigma varepsilon_0 c_sigma^dagger c_sigma + U n_uparrow n_downarrow$求解 格林函数$langle langle c_sigma c_sigma^dagger rangle rangle$

要求解格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle$，我们可以使用Green's函数的定义：

$\langle \langle A | B \rangle \rangle = -i \int_{-\infty}^{\infty} dt \ e^{i\omega t}\langle { A(t), B(0) } \rangle$

其中，${A(t), B(0)}$是A和B的反对易子，$\omega$是频率。

根据哈密顿量的定义，我们有：

$H = \sum\limits_\sigma \varepsilon_0 c_\sigma^\dagger c_\sigma + U n_{\uparrow} n_{\downarrow}$

其中，$\varepsilon_0$是单粒子能级，$U$是相互作用强度，$c_\sigma^\dagger$和$c_\sigma$分别是创建和湮灭$\sigma$自旋的费米子算符，$n_{\uparrow}$和$n_{\downarrow}$分别是$\uparrow$和$\downarrow$自旋的粒子数算符。

我们可以将$H$写成两部分的和：

$H = H_0 + H_{\text{int}}$

其中，

$H_0 = \sum\limits_\sigma \varepsilon_0 c_\sigma^\dagger c_\sigma$

是无相互作用的部分，而

$H_{\text{int}} = U n_{\uparrow} n_{\downarrow}$

是相互作用部分。

格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle$可以通过$H_0$和$H_{\text{int}}$的格林函数来计算。

我们可以先计算无相互作用部分$H_0$的格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0$，再考虑相互作用部分$H_{\text{int}}$对格林函数的修正。

对于无相互作用部分$H_0$，我们有：

$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \int_{-\infty}^{\infty} dt \ e^{i\omega t}\langle { c_\sigma(t), c_\sigma^\dagger(0) } \rangle_0$

由于$H_0$是二次型的，我们可以将$c_\sigma(t)$和$c_\sigma^\dagger(0)$用产生和湮灭算符的展开式表示：

$c_\sigma(t) = \sum\limits_n e^{i\varepsilon_n t} a_{n\sigma}$

$c_\sigma^\dagger(0) = \sum\limits_m b_{m\sigma}^\dagger$

其中，$a_{n\sigma}$和$b_{m\sigma}^\dagger$分别是$H_0$的本征态$\varepsilon_n$和$\varepsilon_m$对应的产生和湮灭算符。

代入上式，我们可以得到：

$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \sum\limits_{n,m} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_m) t}\langle { a_{n\sigma}, b_{m\sigma}^\dagger } \rangle_0$

由于$a_{n\sigma}$和$b_{m\sigma}^\dagger$满足费米子的对易关系，上式中的反对易子可以化简为对易子，即：

$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \sum\limits_{n,m} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_m) t}\langle [ a_{n\sigma}, b_{m\sigma}^\dagger ] \rangle_0$

由于$a_{n\sigma}$和$b_{m\sigma}^\dagger$是本征态对应的产生和湮灭算符，它们满足对易关系：

$[ a_{n\sigma}, b_{m\sigma}^\dagger ] = \delta_{nm}$

代入上式，我们可以得到：

$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \sum\limits_{n,m} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_m) t}\delta_{nm}$

由于$a_{n\sigma}$和$b_{m\sigma}^\dagger$是费米子算符，它们的本征态$n$和$m$必须满足相同的自旋$\sigma$，即$n=m$，因此：

$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 = -i \sum\limits_{n,m} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_m) t}\delta_{nm} = -i \sum\limits_{n} e^{i(\varepsilon_n-\varepsilon_n) t} = -i \sum\limits_{n} e^{i\cdot 0 \cdot t} = -i \sum\limits_{n} 1 = -i N$

其中，$N$是系统的简并度。

由此可见，在无相互作用的情况下，格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0$是一个常数$-i N$。

接下来考虑相互作用部分$H_{\text{int}}$对格林函数的修正。由于$H_{\text{int}} = U n_{\uparrow} n_{\downarrow}$，我们可以将$n_{\uparrow}$和$n_{\downarrow}$用产生和湮灭算符表示：

$n_{\uparrow} = \sum\limits_{n,m} a_{n\uparrow}^\dagger a_{m\uparrow}$

$n_{\downarrow} = \sum\limits_{n,m} a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow}$

代入$H_{\text{int}}$，我们有：

$H_{\text{int}} = U \sum\limits_{n,m} a_{n\uparrow}^\dagger a_{m\uparrow} a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow}$

由于$a_{n\sigma}$是本征态$\varepsilon_n$对应的产生算符，它满足对易关系：

$[ a_{n\sigma}, a_{m\sigma}^\dagger ] = \delta_{nm}$

代入上式，我们可以得到：

$H_{\text{int}} = U \sum\limits_{n,m} a_{n\uparrow}^\dagger a_{m\uparrow} a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow} = U \sum\limits_{n,m} [ a_{n\uparrow}^\dagger, a_{m\uparrow} ] a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow} = U \sum\limits_{n,m} \delta_{nm} a_{n\downarrow}^\dagger a_{m\downarrow} = U \sum\limits_{n} a_{n\downarrow}^\dagger a_{n\downarrow}$

由于$a_{n\downarrow}$和$a_{n\downarrow}^\dagger$是费米子算符，它们的本征态$n$必须满足相同的自旋$\downarrow$，即$n=n$，因此：

$H_{\text{int}} = U \sum\limits_{n} a_{n\downarrow}^\dagger a_{n\downarrow} = U n_{\downarrow}$

由此可见，在相互作用部分$H_{\text{int}}$的影响下，格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle$将被修正为：

$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle = \langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_0 + \langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_{\text{int}}$

其中，$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_{\text{int}}$是相互作用部分$H_{\text{int}}$对格林函数的修正。根据上面的推导，$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle_{\text{int}} = U \langle \langle n_{\downarrow} |n_{\downarrow} \rangle \rangle$。

由于$n_{\downarrow}$是费米子数算符，它的本征值只能是0或1，因此格林函数$\langle \langle n_{\downarrow} |n_{\downarrow} \rangle \rangle$只能取0或1。

综上所述，格林函数$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle$的解为：

$\langle \langle c_\sigma |c_\sigma^\dagger \rangle \rangle = -i N + U \langle \langle n_{\downarrow} |n_{\downarrow} \rangle \rangle$

其中，$N$是系统的简并度