量子拓扑材料的特殊性质主要源于其电子波函数的拓扑性质。在拓扑绝缘体中电子的能带结构带有非平凡的拓扑不变量使得拓扑边界态能够形成。在拓扑超导体中超导态的对称性破缺导致了拓扑超导边界态的形成。这些拓扑边界态具有特殊的拓扑保护性质不受微扰的影响可以实现电流的无散射传输。 有关的公式

拓扑绝缘体中的拓扑不变量一般可以使用Berry曲率或陈数来描述。其中，Berry曲率定义为：

$$ \Omega(\mathbf{k}) = \nabla_{\mathbf{k}} \times \mathbf{A}(\mathbf{k}) $$

其中，$\mathbf{A}(\mathbf{k})$是赤道面上的Berry连接，$\mathbf{k}$是动量空间中的矢量。陈数则定义为Berry曲率在整个动量空间上的积分：

$$ C = \frac{1}{2\pi} \int d^2 \mathbf{k} , \Omega(\mathbf{k}) $$

当陈数为非零时，存在非平凡的拓扑不变量，表明拓扑边界态的存在。

拓扑超导体中的拓扑不变量一般可以使用拓扑不变量或拓扑序参量来描述。其中，拓扑不变量可以通过求解Bogoliubov-de Gennes（BdG）哈密顿量的拓扑不变量得到。拓扑序参量则是描述超导态的对称性破缺的参数，其非零值表明存在拓扑超导边界态。

这些拓扑边界态具有特殊的拓扑保护性质，不受微扰的影响。这意味着即使在存在杂质或缺陷的情况下，拓扑边界态仍能保持稳定。这使得拓扑材料在量子计算和量子信息处理等领域具有重要应用潜力