一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为 S m 同时定义$S^pm = S_x pm i S_y$ 则容易得出：$S^pm ketSm = sqrtS mp m Spm m +1ketSmpm 1$ 。知道玻色子湮灭和产生算符有如下关系式：$aketn = sqrtn+1 ketn-1 a^daggerketn= sqrtn+1ketn+1 n = a^dagger a$。用$a a^da

根据已知关系式 $S^\pm \ket{S,m} = \sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1}$，我们可以将 $S^\pm$ 表示为 $S_z$ 和 $S^\pm$ 的线性组合。假设存在常数 $a$ 和 $b$，使得 $$S^\pm = a S_z + b S^\pm$$ 将上式两边作用于 $\ket{S,m}$，得到 $$S^\pm \ket{S,m} = (a S_z + b S^\pm) \ket{S,m}$$ $$\sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1} = a m \ket{S,m} + b S^\pm \ket{S,m}$$ 由于 $\ket{S,m}$ 是角动量算符 $S_z$ 的本征态，我们可以得到以下关系： $$\sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1} = a m \ket{S,m} + b \sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}\ket{S,m\pm 1}$$ 两边同时除以 $\sqrt{(S \mp m )(S\pm m +1)}$，得到 $$\ket{S,m\pm 1} = a m \ket{S,m} + b \ket{S,m\pm 1}$$ 由于 $\ket{S,m\pm 1}$ 和 $\ket{S,m}$ 是正交的，所以上式成立的唯一解是 $a = 0$，$b = 1$，即 $$S^\pm = S^\pm$$ 因此，我们可以用 $S^\pm$ 表示 $S^\pm$ 和 $S_z$： $$S^\pm = S_x \pm i S_y$$

如果我们将 $S^\pm$ 表示为 $a$ 和 $a^\dagger$，我们可以将其与玻色子的湮灭和产生算符关联起来。我们可以将 $S^\pm$ 表示为 $S_x$ 和 $S_y$ 的线性组合： $$S^\pm = S_x \pm i S_y$$ 然后我们可以将 $S_x$ 和 $S_y$ 表示为 $a$ 和 $a^\dagger$： $$S_x = \frac{1}{2}(a + a^\dagger)$$ $$S_y = \frac{1}{2i}(a - a^\dagger)$$ 将上面两个式子代入 $S^\pm$ 的表达式中，得到 $$S^\pm = \frac{1}{2}(a + a^\dagger) \pm i \frac{1}{2i}(a - a^\dagger)$$ 化简得到 $$S^\pm = \frac{1}{2}(a + a^\dagger) \pm \frac{1}{2}(a - a^\dagger)$$ 合并同类项，得到 $$S^\pm = a$$ $$S^\pm = a^\dagger$$ 因此，我们可以用 $a$ 和 $a^\dagger$ 表示 $S^\pm$ 和 $S_z$： $$S^\pm = a$$ $$S_z = \frac{1}{2}(a^\dagger a - a a^\dagger)$