证明欧拉公式

欧拉公式可以通过复变函数的泰勒展开来证明。

首先，我们知道复变函数的泰勒展开公式为： $$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n $$ 其中，$f^{(n)}(z_0)$表示函数$f(z)$在$z_0$处的$n$阶导数。

现在考虑复变函数$e^z$，我们可以将其泰勒展开为： $$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^0}{n!}z^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n $$ 这是因为$e^0 = 1$。

接下来，我们考虑复变函数$cos(z)$，它的泰勒展开为： $$ cos(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{cos(0)}{n!}z^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n $$ 这是因为$cos(0) = 1$。

最后，我们考虑复变函数$sin(z)$，它的泰勒展开为： $$ sin(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{sin(0)}{n!}z^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n $$ 这是因为$sin(0) = 0$。

综上所述，我们可以得到： $$ e^z = cos(z) + isin(z) $$ 这就是欧拉公式