微分方程y=1+y2ex的通解

首先将微分方程分离变量，得到：

$$\frac{dy}{dx}=(1+y^2)e^x$$

将两边同时除以$(1+y^2)$，得到：

$$\frac{dy}{dx} \frac{1}{1+y^2}=e^x$$

对右侧进行积分，得到：

$$\int e^x dx = e^x + C_1$$

对左侧进行积分，需要进行换元，令$y=\tan u$，则$dy=\sec^2 u du$，且$1+y^2=\sec^2 u$。将其代入原式，得到：

$$\int \frac{1}{1+y^2}dy=\int \frac{1}{\sec^2 u} \sec^2 u du = \int du = u + C_2$$

因此，原微分方程的通解为：

$$y=\tan u = \tan \left(\int e^x dx + C\right)$$

其中，$C=C_1+C_2$为常数。