请设计一道有题目背景考察数论的编程问题不少于500字

题目背景：

在某个小镇上，有一座高高的塔楼。这座塔楼的高度非常神秘，据说只有某个神秘数字的倍数才能看到塔楼的顶部。为了挑战这个神秘数字，你决定编写一个程序来寻找这个数字。

问题描述：

给定一个整数n，你需要编写一个程序来寻找最小的正整数x，使得x是n的倍数，并且x的十进制表示中只包含数字1和0。

输入格式：

一个整数n，表示塔楼的高度。

输出格式：

一个整数x，表示最小的正整数x，使得x是n的倍数，并且x的十进制表示中只包含数字1和0。

样例输入：

3

样例输出：

111

解题思路：

我们可以先从最小的满足条件的数开始，依次枚举每个数，判断其是否为n的倍数，如果是，就直接输出这个数，结束程序；如果不是，就继续枚举下一个数。这个过程中，我们可以使用数论中的取模运算来判断是否为n的倍数。

具体实现时，我们可以将数字1和0组合起来，构成一个数，然后判断这个数是否为n的倍数。如果是，直接输出这个数；如果不是，我们可以将这个数的最后一位改成1，然后再次判断是否为n的倍数。如果还不是，我们再将这个数的倒数第二位改成1，再次判断是否为n的倍数。依次类推，直到找到一个满足条件的数为止。

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    long long x = 1;
    while (true)
    {
        string s = to_string(x); // 将x转换为字符串
        bool flag = true;
        for (int i = 0; i < s.length(); i++)
        {
            if (s[i] != '0' && s[i] != '1')
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag && x % n == 0) // 判断是否满足条件
        {
            cout << x << endl;
            break;
        }
        x++;
    }
    return 0;
}

时间复杂度分析：

由于我们从最小的满足条件的数开始，依次枚举每个数，因此时间复杂度为O(x)，其中x为满足条件的最小的正整数。在最坏情况下，x的值为10的n次方，因此时间复杂度为O(10^n)，属于指数级别，因此该方法只适用于n比较小的情况