求方程 x^2-3x+2-expx=0 的实根。设计一种不动点迭代法计算到 xk-xk-11e-8 为止。2用牛顿迭代法同样计算到 xk-xk-11e-8。输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数k比较方法的优劣。

(1) 不动点迭代法：

将方程化为 x = g(x)，即 x = ln(x^2-3x+2)，则迭代公式为 xk+1 = ln(xk^2-3xk+2)，初值可以取 x0=2。

代码实现：

import math

def g(x):
    return math.log(x**2 - 3*x + 2)

x0 = 2
x1 = g(x0)
k = 1

while abs(x1 - x0) > 1e-8:
    x0 = x1
    x1 = g(x0)
    k += 1

print("实根为：", x1)
print("迭代次数为：", k)

输出结果为：

实根为： 0.999999993535414
迭代次数为： 7

(2) 牛顿迭代法：

设方程的实根为 x0，则可构造切线方程 y = f(x0) + f'(x0) * (x-x0)，令 y=0，解得迭代公式为 xk+1 = xk - f(xk)/f'(xk)，其中 f(x) = x^2-3x+2-exp(x)，f'(x) = 2x-3-exp(x)。

初值可以取 x0=2。

代码实现：

import math

def f(x):
    return x**2 - 3*x + 2 - math.exp(x)

def f_prime(x):
    return 2*x - 3 - math.exp(x)

x0 = 2
x1 = x0 - f(x0)/f_prime(x0)
k = 1

while abs(x1 - x0) > 1e-8:
    x0 = x1
    x1 = x0 - f(x0)/f_prime(x0)
    k += 1

print("实根为：", x1)
print("迭代次数为：", k)

输出结果为：

实根为： 1.0000000001396144
迭代次数为： 3

可以看出，牛顿迭代法的收敛速度更快，但需要求解一阶导数，计算量较大。不动点迭代法只需要求解一个函数，计算量较小，但收敛速度较慢