基于拉丁方/立方和混沌系统的图像加密算法综述

2 相关工作

本节回顾了一些使用拉丁方/立方和混沌系统的图像加密算法，并分析了它们的特性。此外，我们还介绍了三维正交拉丁方的生成。

2.1 使用拉丁方/立方的加密算法

首先，我们详细描述了拉丁方和拉丁立方。然后，我们讨论了使用拉丁方/立方的现有加密算法。

2.1.1 拉丁方和拉丁立方

拉丁方是一个 n × n 的方阵，其中每个元素在每行和每列中只出现一次 [10]。图 1 展示了四个不同符号集的不同拉丁方，它们可以直观地展示拉丁方的特性。拉丁立方是拉丁方的三维形式。类似于拉丁方，大小为 n × n × n 的拉丁立方有 n 个不同的元素，并且每个元素在每个轴对齐平面上只出现一次。图 2 展示了一个大小为 4 × 4 × 4 的拉丁立方，它由四个大小为 4 × 4 的拉丁方组成，{a，b，c，d} 中的每个元素在每行、每列和每个垂直方向上只出现一次。

2.1.2 使用拉丁方/立方的加密算法

由于其独特的特性，拉丁方/立方已被用于许多图像加密算法中。这些算法包含两个类别。第一类应用拉丁方来加密二维空间中的灰度图像 [19]。例如，在 [29] 中，作者提出了一种使用拉丁方进行置换过程的加密算法。在 [26] 中，作者提出了一种通过组合拉丁方和细胞神经网络来进行图像加密的算法。这类加密算法只能直接应用于大小为正方形的灰度图像。当加密彩色图像时，应首先将其分成三个颜色平面，然后分别将每个颜色平面加密为灰度图像，并最终将三个结果组合起来得到密文图像。此策略对于彩色图像来说是方法 1，如图 3 所示。然而，彩色图像的三个颜色平面具有许多内部属性。将它们视为三个灰度图像无法考虑颜色平面之间的属性，因此可能导致效率低下。第二类加密算法首先将图像分解为位立方体，然后使用拉丁立方来加密位立方体，如图 3 的方法 2 所示。然而，这些加密算法存在许多缺点。首先，加密效率低。数字图像由像素组成。在位级别加密图像像素可能会导致过多和复杂的操作，从而增加计算成本 [25,52,59]。其次，这些加密算法仅适用于具有特定大小的图像，这在实际应用中非常不方便 [49]。例如，在 [46] 中，作者首先将大小为 512 × 512 的灰度图像分解为大小为 128 × 128 × 128 的 3D 位矩阵，然后使用 3D 拉丁立方加密 3D 位矩阵。显然，这种加密策略仅适用于图像的图像大小可以分解为大小为 n × n × n 的 3D 位矩阵的图像。此外，在加密彩色图像时，这些加密算法还应分别加密每个三个颜色平面，然后将三个结果组合起来得到最终的密文图像。表 1 显示了一些使用拉丁方/立方的代表性图像加密算法及其局限性。因此，设计新的加密结构，充分考虑彩色图像和拉丁立方/方的内在属性是非常重要的。期望的加密结构如图 3 的方法 3 所示。它显示可以直接加密任何大小的彩色图像。可以看出，彩色图像的三个颜色平面可以直接加密，无需任何预处理。

2.2 混沌系统

混沌理论是设计图像加密算法的流行技术，由于其初始灵敏度、不可预测性和类似于随机的行为特性 [6,37]。在应用于图像加密时，混沌系统用于生成随机数或其结构用于分配图像像素 [50]。基于相空间的维数，混沌系统包括一维（1D）和多维（MD）系统。著名的一维混沌系统有 Logistic、Sine 和 Tent maps [9]。一维混沌系统通常具有简单的结构，使其混沌信号容易预测 [22]。在图像加密中使用时，这种属性可以导致加密过程的成功预测，并进一步导致安全问题 [11]。MD 混沌系统的例子包括 3D-PLM [32] 和 NL4DLM [35]。MD 混沌系统通常具有复杂的结构，使其混沌信号难以预测。这可以增强在图像加密中使用时的安全级别。然而，高维度也导致高实现成本和低效率。由于 2D 混沌系统可以拥有复杂的混沌行为和相对较低的实现成本，它们可以平衡效率和性能。因此，它们被广泛用于设计图像加密算法。最近，使用不同的 2D 混沌系统开发了一些图像加密算法，包括 2D-LASM [15]、2D-SLMM [16]、2D-LSCM [12] 和 2D-LSMCL [58]。图 4 绘制了这些 2D 混沌系统的轨迹和 Lyapunov 指数（LEs）。混沌系统的轨迹显示了其运动行为，而 Lyapunov 指数（LE）是混沌的有效度量。具有正 LE 的非线性系统是混沌的，而两个或更多正 LE 表示超混沌行为。当绘制轨迹时，这些 2D 混沌映射的控制参数选择为原始文献中报告的典型设置。由于 2D-SLMM 和 2D-LSMCL 拥有两个参数，因此它们的 LE 是通过将参数 a 的变化计算得出的，将另一个参数 b 设置为固定值，即在 2D-SLMM 和 2D-LSMCL 中将 b = 3。可以看出，这些 2D 混沌系统具有一些显着的特性。首先，它们的轨迹不能均匀地分布在整个相空间中，表明它们的行为不是类似于随机的。此外，它们的混沌区间不连续并具有周期性窗口。这些特性在图像加密中使用时极大地影响了安全级别。高维动力系统具有几个 LE，其 LE 数等于其维数。对于具有全局限制的非线性系统，其最大 LE（LLE）表示其混沌程度。