基于拉丁方/立方和混沌系统的图像加密算法综述

2 相关工作

本节回顾了一些使用拉丁方/立方和混沌系统进行图像加密的算法，并分析了它们的特性。此外，我们还介绍了3D正交拉丁方的生成方法。

2.1 使用拉丁方/立方的加密算法

首先，我们详细描述拉丁方和拉丁立方。然后，我们讨论使用拉丁方/立方的现有加密算法。

2.1.1 拉丁方和拉丁立方

拉丁方是一个 n × n 的方阵，其中每个元素在每行和每列中只出现一次 [10]。图1展示了四个不同的拉丁方，它们具有不同的符号集，并可以直观地展示拉丁方的特性。拉丁立方是拉丁方的3D形式。类似于拉丁方，大小为 n × n × n 的拉丁立方有 n 个不同的元素，并且每个元素在每个轴对齐的平面中都出现一次。图2展示了一个大小为 4 × 4 × 4 的拉丁立方，由四个元素 {a，b，c，d} 组成。可以看出，拉丁立方由四个大小为 4 × 4 的拉丁方组成，每个元素 {a，b，c，d} 在每行、每列和每个垂直方向上都只出现一次。

2.1.2 使用拉丁方/立方的加密算法

由于其独特的特性，拉丁方/立方已被用于许多图像加密算法中。这些算法包含两大类。第一类应用拉丁方在2D空间中加密灰度图像 [19]。例如，在 [29] 中，作者提出了一种使用拉丁方执行替换过程的加密算法。在 [26] 中，作者通过组合拉丁方和细胞神经网络提出了一种图像加密算法。这类加密算法只能直接应用于具有方形大小的灰度图像。在加密彩色图像时，应首先将其划分为三个颜色平面，然后分别将每个颜色平面作为灰度图像加密，最后将三个结果组合起来得到密图像。这种针对彩色图像的策略在图3中显示为方法1。然而，彩色图像的三个颜色平面具有许多内在属性。将它们视为三个灰度图像无法考虑颜色平面之间的属性，因此可能导致效率低下。第二类加密算法首先将图像分解为位立方体，然后使用拉丁立方加密位立方体，如图3中的方法2所示。然而，这些加密算法存在许多缺点。首先，加密效率低。数字图像由像素组成。在位级别加密图像像素可能会导致过多和复杂的操作，从而增加计算成本 [25,52,59]。其次，这些加密算法仅适用于具有特定大小的图像，这在实际应用中很不方便 [49]。例如，在 [46] 中，作者首先将大小为 512 × 512 的灰度图像分解为大小为 128 × 128 × 128 的 3D 位矩阵，然后使用 3D 拉丁立方加密 3D 位矩阵。显然，这种加密策略仅适用于图像大小可以分解为大小为 n × n × n 的 3D 位矩阵的图像。此外，在加密彩色图像时，这些加密算法还应分别加密三个颜色平面，然后将三个结果组合起来得到最终的密图像。表1显示了一些使用拉丁方/立方的代表性图像加密算法及其限制。因此，设计充分考虑彩色图像和拉丁立方/方的内在属性的新加密结构非常重要。图3中显示了所需的加密结构，可以直接加密任何大小的彩色图像。可以看出，彩色图像的三个颜色平面可以直接加密，而无需任何预处理。

2.2 混沌系统

混沌理论是设计图像加密算法的常用技术，因为它具有初始敏感性、不可预测性和类似随机行为的特性 [6,37]。在应用于图像加密时，混沌系统用于生成随机数或其结构用于分布图像像素 [50]。根据相空间的维数，混沌系统包括一维（1D）和多维（MD）系统。著名的 1D 混沌系统有 Logistic、Sine 和 Tent maps [9]。1D 混沌系统通常具有简单的结构，使其混沌信号易于预测 [22]。在图像加密中使用时，这种属性可能导致加密过程的成功预测，并进一步导致安全问题 [11]。MD 混沌系统的示例包括 3D-PLM [32] 和 NL4DLM [35]。MD 混沌系统通常具有复杂的结构，使其混沌信号难以预测。这可以增强在图像加密中使用时的安全级别。然而，高维度也导致高实现成本和低效率。由于 2D 混沌系统可以拥有复杂的混沌行为和相对较低的实现成本，因此它们可以平衡效率和性能。因此，它们被广泛用于设计图像加密算法。最近，使用不同的 2D 混沌系统开发了一些图像加密算法，包括 2D-LASM [15]、2D-SLMM [16]、2D-LSCM [12] 和 2D-LSMCL [58]。图4绘制了这些 2D 混沌系统的轨迹和李雅普诺夫指数（LEs）。混沌系统的轨迹显示其运动行为，而李雅普诺夫指数（LE）是混沌的有效度量。具有正 LE 的非线性系统是混沌的，两个或多个正 LE 表示超混沌行为。在绘制轨迹时，选择这些 2D 混沌映射的控制参数为原始文献中报告的典型设置。由于 2D-SLMM 和 2D-LSMCL 拥有两个参数，因此通过将另一个参数 b 设置为固定值，即在 2D-SLMM 和 2D-LSMCL 中设置 b = 3，计算了它们的 LE。可以看出，这些 2D 混沌系统具有一些显著的特性。首先，它们的轨迹不能均匀地分布在整个相空间中，表明它们的行为不是类似随机的。此外，它们的混沌间隔不连续并且具有周期性窗口。这些特性在使用它们进行图像加密时极大地影响安全级别。高维动力系统具有多个 LE，其 LE 的数量等于其维数。对于具有全局界限的非线性系统，其最大 LE（LLE）表示混沌的存在。正 LLE 表示混沌行为，较大的 LLE 表示接近轨迹的快速发散。具有两个或多个正 LE 的非线性系统具有超混沌行为，这是一种比混沌行为更复杂的行为。我们的实验使用 LE 计算工具箱 LET1 获取不同混沌映射的 LE。首先，我们在整个参数空间中计算了所提出的 2D-LSM 的两个 LE，并在图 6a，b 中绘制了计算值。可以看出，在所有参数设置下，2D-LSM 始终具有两个正 LE，表明它具有超混沌行为。此外，我们比较了不同 2D 混沌系统的 LLE，如图 6c 所示。为了获得视觉效果，我们将 2D-LSM 的参数 a 从区间 (1, 100) 线性缩放到 (0, 1)，并将其另一个参数 b 设置为 b = 50。对于 2D-SLMM 和 2D-LSMCL，它们的参数 b 设置为 b = 3。如图所示，2D-LSM 比其他四个 2D 混沌系统具有更大的 LLE，并且其混沌范围是连续的。相反，其他四个 2D 混沌系统具有不连续的混沌范围。