拉格朗日di定理证明

拉格朗日定理又称中值定理，是微积分中的一项基本定理，表明在某些条件下，函数在两个点之间的斜率等于函数的导数在某个点的值。下面是拉格朗日定理的证明：

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，$a<x<b$，则存在$\xi\in(a,b)$，使得：

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$$

证明：

令$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

则$F(a)=f(a),F(b)=f(b)$，且有：

$$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

因为$f(x)$在$(a,b)$内可导，所以$F'(x)$也在$(a,b)$内可导。

根据罗尔定理，$F(x)$在$(a,b)$内必有极值点$\xi$，即$F'(\xi)=0$。

由于$F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，所以：

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$$

证毕。