已知xt=5+3cos2t+cos6t+05sin10t求Xjw

根据傅里叶变换的定义，有：

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$$

代入$x(t)$的表达式，得：

$$\begin{aligned} X(j\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}(5+3\cos(2t)+\cos(6t)+0.5\sin(10t))e^{-j\omega t}dt\ &=\int_{-\infty}^{\infty}5e^{-j\omega t}dt+\int_{-\infty}^{\infty}3\cos(2t)e^{-j\omega t}dt+\int_{-\infty}^{\infty}\cos(6t)e^{-j\omega t}dt+\int_{-\infty}^{\infty}0.5\sin(10t)e^{-j\omega t}dt\ \end{aligned}$$

对于第一项，有：

$$\int_{-\infty}^{\infty}5e^{-j\omega t}dt=\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}5e^{-j\omega t}dt$$

由于$e^{-j\omega t}$是周期为$\frac{2\pi}{\omega}$的周期函数，因此有：

$$\begin{aligned} \lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}5e^{-j\omega t}dt&=\lim_{T\rightarrow\infty}\left(5\frac{e^{-j\omega T}-e^{j\omega T}}{-j\omega}\right)\ &=\lim_{T\rightarrow\infty}\left(\frac{10\sin(\omega T)}{\omega}\right)\ &=0 \end{aligned}$$

对于第二项，有：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}3\cos(2t)e^{-j\omega t}dt&=\frac{3}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(\cos(2t+j\omega t)+\cos(2t-j\omega t))dt\ &=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\pi[\delta(\omega-2)+\delta(\omega+2)]\right)\ &=\frac{3}{4}\pi[\delta(\omega-2)+\delta(\omega+2)] \end{aligned}$$

其中，$\delta(\omega)$表示狄拉克（Dirac）脉冲函数。

对于第三项，有：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\cos(6t)e^{-j\omega t}dt&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{j6t+j\omega t}+e^{-j6t-j\omega t})dt\ &=\frac{1}{2}\left(\pi[\delta(\omega-6)+\delta(\omega+6)]\right)\ &=\frac{1}{2}\pi[\delta(\omega-6)+\delta(\omega+6)] \end{aligned}$$

对于第四项，有：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}0.5\sin(10t)e^{-j\omega t}dt&=\frac{1}{2j}\int_{-\infty}^{\infty}(\exp(j10t)-\exp(-j10t))\exp(-j\omega t)dt\ &=\frac{1}{2j}\left(-\pi[\delta(\omega+10)-\delta(\omega-10)]\right)\ &=\frac{1}{2}\pi[\delta(\omega-10)-\delta(\omega+10)] \end{aligned}$$

因此，将以上结果代入原式，得：

$$X(j\omega)=\frac{3}{4}\pi[\delta(\omega-2)+\delta(\omega+2)]+\frac{1}{2}\pi[\delta(\omega-6)+\delta(\omega+6)]+\frac{1}{2}\pi[\delta(\omega-10)-\delta(\omega+10)]$$

即

$$X(j\omega)=\frac{3}{4}\pi\delta(\omega-2)+\frac{1}{2}\pi\delta(\omega-6)+\frac{1}{2}\pi\delta(\omega-10)-\frac{3}{4}\pi\delta(\omega+2)-\frac{1}{2}\pi\delta(\omega+6)-\frac{1}{2}\pi\delta(\omega+10)$