采用相似变换的方法推导出三维紊动水流运动相似的相似准数。

三维紊动水流运动的相似准数可以通过相似变换的方法推导出来。该方法的基本思想是，通过将物理量用无量纲形式表示，并引入适当的比例因子，将不同尺度下的物理现象联系起来，从而得到相似性质的量。

具体来说，假设有两个不同尺度下的三维紊动水流运动，分别以速度$v_1$和$v_2$、长度$L_1$和$L_2$、密度$\rho_1$和$\rho_2$、粘度$\mu_1$和$\mu_2$为特征。为了将它们联系起来，我们引入无量纲形式的速度、长度、时间和压力：

$$ u=\frac{v}{v_0},\quad l=\frac{L}{L_0},\quad t=\frac{L_0}{v_0},\quad p=\frac{P}{\rho_0 v_0^2}, $$

其中$v_0$和$L_0$是适当的比例因子，$\rho_0$是参考密度，$P$是压力。通过将以上物理量用无量纲形式表示，我们可以将两个不同尺度下的三维紊动水流运动联系起来。

接下来，我们考虑两个不同尺度下的三维紊动水流运动之间的相似性质。根据雷诺相似原理，两个三维紊动水流运动在相似准数相等的情况下，它们的流动特性是相似的。因此，我们可以通过比较两个不同尺度下的三维紊动水流运动的动量守恒方程、质量守恒方程和能量守恒方程的形式，得到它们之间的相似准数。

具体来说，我们可以考虑两个不同尺度下的三维紊动水流运动的动量守恒方程：

$$ \rho_1 v_1^2=\rho_2 v_2^2+\Delta P, $$

其中$\Delta P$是压力差。将上式用无量纲形式表示，得到

$$ \frac{\rho_1 v_0^2}{2}u_1^2=\frac{\rho_2 v_0^2}{2}u_2^2+\Delta p, $$

其中$\Delta p=\frac{\Delta P}{\rho_0 v_0^2}$是无量纲压力差。根据相似性质，我们可以将上式写成相似形式：

$$ f_1(\mathrm{Re},\mathrm{Fr},\mathrm{M})=f_2(\mathrm{Re},\mathrm{Fr},\mathrm{M}), $$

其中$\mathrm{Re}$是雷诺数，$\mathrm{Fr}$是弗劳德数，$\mathrm{M}$是马赫数，$f_1$和$f_2$是一些函数。根据定义，这些无量纲数可以表示为：

$$ \mathrm{Re}=\frac{\rho_1 v_1 L_1}{\mu_1},\quad \mathrm{Fr}=\frac{v_1}{\sqrt{gL_1}},\quad \mathrm{M}=\frac{v_1}{c}, $$

其中$g$是重力加速度，$c$是声速。类似地，我们可以考虑质量守恒方程和能量守恒方程，得到相应的相似性质和相似准数。

最终，我们可以将三维紊动水流运动的相似准数表示为：

$$ \frac{\rho_1 v_0^2 L_1}{\mu_1}=f_{\mathrm{D}}(\mathrm{Re},\mathrm{Fr},\mathrm{M}),\quad \frac{\rho_1 v_0^2 L_1^2}{\mu_1^2}=f_{\mathrm{H}}(\mathrm{Re},\mathrm{Fr},\mathrm{M}), $$

其中$f_{\mathrm{D}}$和$f_{\mathrm{H}}$是一些函数。这些相似准数描述了三维紊动水流运动在不同尺度下的相似性质，可以用于设计和优化流体力学设备