如何构造一个齐次线性方程组有使得其基础解系恰好是给定的向量组；

设给定的向量组为$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$，则构造一个$n\times n$的齐次线性方程组如下：

$$\begin{cases} \boldsymbol{v}_1\cdot \boldsymbol{x}=0\ \boldsymbol{v}_2\cdot \boldsymbol{x}=0\ \cdots\ \boldsymbol{v}_n\cdot \boldsymbol{x}=0\ \end{cases}$$

其中，$\cdot$表示向量的内积，$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$为未知向量。

显然，这个方程组的解空间就是由向量组$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$张成的线性空间，也就是所求的基础解系。因为每个向量都是这个解空间中的向量，所以它们可以表示为这个解空间中的一组基，即它们本身就是这个解空间的一组基。

因此，这个方程组的基础解系恰好是给定的向量组$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$