证明DDmDp在Ci中稠密；其中DmDp是二阶线性算子DDmDp为DmDp的定义域Ci表示定义域r0r1中的连续函数空间

首先，我们需要证明DmDp在Ci中是线性的。对于任意的f,g∈Ci，以及任意的k1,k2∈R，有：

DmDp(k1f + k2g) = Dp(Dm(k1f + k2g)) = Dp(k1Dm(f) + k2Dm(g)) = k1Dp(Dm(f)) + k2Dp(Dm(g)) = k1DmDp(f) + k2DmDp(g)

因此DmDp是线性的。

接下来，我们需要证明DmDp的定义域D(DmDp)在Ci中是稠密的。换句话说，对于任意的f∈Ci，存在一个序列{fn}⊆D(DmDp)，使得{fn}收敛于f。

由于f∈Ci，因此f是在区间[r0,r1]上的连续函数。我们可以用一组分段多项式来逼近f。具体来说，我们可以将区间[r0,r1]分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(r1-r0)/n。然后，我们可以在每个小区间上构造一个三次多项式，使得三次多项式在小区间两端的函数值和导数值与f在两端点的函数值和导数值相等。这样，我们就得到了一个分段三次多项式Pn(x)，它在区间[r0,r1]上可以逼近f。

接下来，我们定义一个函数fn(x)，它在每个小区间上等于Pn(x)，且在相邻小区间的交界处满足以下条件：

fn(x)在小区间的两端点处的函数值和导数值与Pn(x)在两端点的函数值和导数值相等。

fn(x)在相邻小区间的交界处的函数值和导数值相等。

显然，fn(x)也是一个分段三次多项式，且在每个小区间上与Pn(x)相等。因此，我们有fn(x)∈D(DmDp)。

现在，我们证明{fn}收敛于f。由于fn(x)和f(x)在每个小区间上都相等，因此我们只需要证明在每个小区间上，{fn}收敛于f即可。

设[ai,ai+1]是区间[r0,r1]的一个小区间，h=(r1-r0)/n是小区间的长度。对于任意的x∈[ai,ai+1]，我们有：

|fn(x) - f(x)| ≤ |Pn(x) - f(x)| + |Pn(x) - fn(x)|

由于Pn(x)可以逼近f(x)，因此当n足够大时，|Pn(x) - f(x)|可以任意小。另外，由于fn(x)是一个分段三次多项式，且在每个小区间上等于Pn(x)，因此|Pn(x) - fn(x)|也可以任意小。因此，当n足够大时，|fn(x) - f(x)|可以任意小。

综上所述，我们证明了DmDp在Ci中是线性的，并且D(DmDp)在Ci中是稠密的。因此，D(DmDp)在Ci中是稠密线性子空间，即D(DmDp)在Ci中是一个稠密的线性子空间