问题1： 假设无人机在水平飞行中从空中向地面投放物资物资的形状为球形半径大小为20cm重量为50kg落在标定的位置。1建立数学模型给出无人机投放距离投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。2假设无人机的飞行高度为300m飞行速度为300kmh风速为5ms风向与水平面平行。建立数学模型分别给出无人机飞行方向与风向相同夹角为0度、相反夹角为1

（1）建立数学模型： 假设无人机在水平方向上的速度为v，飞行高度为h，投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离为d。考虑空气阻力对物资下落的影响，根据牛顿第二定律可得： $$ F=ma=m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2 $$ 其中，m为物资的质量，g为重力加速度，k为空气阻力系数，v为无人机在水平方向上的速度。将上式化简得： $$ \frac{dv}{dt}=\frac{g-kv^2}{m} $$ 由于无人机在水平方向上的加速度为0，可得： $$ v\frac{dv}{dh}=\frac{g-kv^2}{m} $$ 将上式积分得到： $$ \int_{v_0}^{v}\frac{v}{g-kv^2}dv=\frac{h}{m} $$ 其中，$v_0$为无人机在投放物资前的速度。解上式可得： $$ v=\sqrt{\frac{g}{k}\tanh\left(\frac{kh}{\sqrt{gm}}+\tanh^{-1}\sqrt{\frac{v_0^2}{g}}\right)} $$ 考虑无人机在垂直方向上的运动，根据自由落体公式可得： $$ h=\frac{1}{2}gt^2 $$ 将上式代入$v=\frac{d}{t}$中，可得： $$ d=\frac{v_0}{g}\sqrt{\frac{g}{k}}\left(\tanh\left(\frac{kh}{\sqrt{gm}}+\tanh^{-1}\sqrt{\frac{v_0^2}{g}}\right)\right)^{\frac{1}{2}} $$ （2）建立数学模型： 无人机在水平方向上的速度为$v_0=300\text{ km/h}=83.33\text{ m/s}$，投放高度为$h=300\text{ m}$，空气阻力系数$k=0.5\rho SC_d$，其中$\rho$为空气密度，$S$为物资的横截面积，$C_d$为物资的阻力系数。假设空气密度为$\rho=1.225\text{ kg/m}^3$，球形物资的阻力系数为$C_d=0.5$，横截面积为$S=\pi r^2=4\pi\text{ m}^2$，则空气阻力系数为$k=3.81\text{ Ns}^2/\text{m}^4$。风速为$u=5\text{ m/s}$。

飞行方向与风向相同（夹角为0度）时，无人机在水平方向上的速度为$v_h=v_0+u=88.33\text{ m/s}$，代入上式可得： $$ d=183.97\text{ m} $$

飞行方向与风向相反（夹角为180度）时，无人机在水平方向上的速度为$v_h=v_0-u=78.33\text{ m/s}$，代入上式可得： $$ d=251.63\text{ m} $$

飞行方向与风向垂直（夹角为90度）时，无人机在水平方向上的速度为$v_h=v_0=83.33\text{ m/s}$，代入上式可得： $$ d=213.55\text{ m} $