柯西不等式证明：a、b、c、d>0且abcd=1，求((1+ab)/(1+a))+((1+bc)/(1+b))+((1+cd)/(1+c))+((1+da)/(1+a))的最小值

利用柯西不等式证明不等式最小值

**问题：**设 a、b、c、d > 0 且 abcd = 1，证明 ((1+ab)/(1+a))+((1+bc)/(1+b))+((1+cd)/(1+c))+((1+da)/(1+a)) ≥ 4。

证明：

利用柯西不等式： 根据柯西不等式，对于任意实数 a₁, a₂, ..., aₙ 和 b₁, b₂, ..., bₙ，都有： (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²
构造不等式： 令 a₁ = √(1+ab), b₁ = √(1+a), a₂ = √(1+bc), b₂ = √(1+b), a₃ = √(1+cd), b₃ = √(1+c), a₄ = √(1+da), b₄ = √(1+d)。
应用柯西不等式： 将上述赋值代入柯西不等式，得到： [(1+ab) + (1+bc) + (1+cd) + (1+da)][(1+a) + (1+b) + (1+c) + (1+d)] ≥ [√((1+ab)(1+a)) + √((1+bc)(1+b)) + √((1+cd)(1+c)) + √((1+da)(1+d))]²
化简不等式：
- 左边 = (4 + ab + bc + cd + da)(4 + a + b + c + d)
- 右边 = (√(1+a+ab+a²b) + √(1+b+bc+b²c) + √(1+c+cd+c²d) + √(1+d+da+d²a))² 由于 abcd = 1，则 ab = 1/(cd), bc = 1/(ad), cd = 1/(ab), da = 1/(bc)。代入右边，得到：右边 = (√(1+a+1/cd+a²/cd) + √(1+b+1/ad+b²/ad) + √(1+c+1/ab+c²/ab) + √(1+d+1/bc+d²/bc))²
利用 AM-GM 不等式： 根据 AM-GM 不等式，对于任意非负实数 x 和 y，都有： x + y ≥ 2√(xy) 将此不等式应用于右边每项的根号内，得到：右边 ≤ (2√(1+a) + 2√(1+b) + 2√(1+c) + 2√(1+d))² = 4[(1+a) + (1+b) + (1+c) + (1+d)]
比较左右两边： 结合步骤 4 和 5，得到： (4 + ab + bc + cd + da)(4 + a + b + c + d) ≥ 4[(1+a) + (1+b) + (1+c) + (1+d)] 由于 a, b, c, d > 0，所以两边同时除以 (4 + a + b + c + d) 得到： 4 + ab + bc + cd + da ≥ 4 因此，((1+ab)/(1+a))+((1+bc)/(1+b))+((1+cd)/(1+c))+((1+da)/(1+a)) ≥ 4，当且仅当 a = b = c = d = 1 时等号成立。