AR(1) 序列自相关函数的证明

AR(1) 序列自相关函数的证明本文将证明一阶自回归模型 (AR(1)) 的自相关函数为 $/gamma_k = /sigma^2 a^k$。 *AR(1) 模型定义:AR(1) 模型假设当前值线性依赖于前一个时间步的值，并加上一个随机误差项：$$X_t = aX_{t-1} + /varepsilon_t$$其中： $X_t$ 是时间步 $t$ 的序列值。 $a$ 是自回归系数，表示前一时间步对当前值的影响程度。 $/varepsilon_t$ 是独立同分布的随机误差项，服从均值为0，方差为 $/sigma^2$ 的正态分布，即 $/varepsilon_t /sim N(0, /sigma^2)$。**自相关函数定义:**自相关函数 $/gamma_k$ 衡量时间序列中相隔 $k$ 个时间步的两个值之间的线性相关程度:$$/gamma_k = /text{Cov}(X_t, X_{t-k})$$**证明过程:1. 当 k = 0 时: 自相关函数即为方差: $$/gamma_0 = /text{Var}(X_t) = /sigma^2$$2. 当 k > 0 时: 利用协方差性质进行推导： /begin{align} /gamma_k &= /text{Cov}(X_t, X_{t-k}) // &= /text{Cov}(aX_{t-1} + /varepsilon_t, X_{t-k}) // &= a/text{Cov}(X_{t-1}, X_{t-k}) + /text{Cov}(/varepsilon_t, X_{t-k}) // &= a/gamma_{k-1} + 0 /quad /text{(因为噪声与滞后项不相关)} // &= a /cdot (a/gamma_{k-2} + 0) // &= a^2 /gamma_{k-2} // &= /ldots // &= a^k /gamma_0 // &= a^k /sigma^2 /end{align}因此，我们证明了 AR(1) 序列的自相关函数为 $/gamma_k = a^k /sigma^2$。