用累加法证明等差数列的通项公式

首先，等差数列的通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差。

现在我们来用累加法证明这个公式。

假设我们有一个等差数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$，其中 $a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差。我们可以将这个数列分成 $n$ 个小组，每个小组包含两个数：第一个数是该小组的首项，第二个数是该小组的末项。例如，第一个小组包含 $a_1$ 和 $a_2$，第二个小组包含 $a_2$ 和 $a_3$，以此类推，最后一个小组包含 $a_{n-1}$ 和 $a_n$。

我们可以将这 $n$ 个小组中的所有数相加，得到以下结果：

$$ a_1+a_2+a_2+a_3+a_3+a_4+\cdots+a_{n-1}+a_n $$

我们可以将每个小组中的两个数相加，得到以下结果：

$$ a_1+a_2,a_2+a_3,a_3+a_4,\cdots,a_{n-1}+a_n $$

根据等差数列的性质，每个小组中的两个数相加都等于 $2a_1+(n-1)d$。因此，我们可以将上述结果简化为：

$$ 2a_1+(n-1)d+2a_1+(n-1)d+\cdots+2a_1+(n-1)d $$

共有 $n$ 个 $2a_1+(n-1)d$ 相加。因此，上述结果可以进一步简化为：

$$ n(2a_1+(n-1)d) $$

另一方面，等差数列的前 $n$ 项和为：

$$ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} $$

将 $a_n=a_1+(n-1)d$ 代入上式，得到：

$$ S_n=\frac{n(a_1+a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2} $$

因此，我们得到了两个表达式，它们都等于等差数列中前 $n$ 项的和。因此，它们必须相等：

$$ n(2a_1+(n-1)d)=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2} $$

将上式化简，得到：

$$ 2a_1+(n-1)d=a_1+a_n $$

即：

$$ a_n=a_1+(n-1)d $$

这就证明了等差数列的通项公式