x趋于a时(sinx-a)/(x-a)的极限求解

要求极限 lim(x->a) [(sin(x) - a) / (x - a)],可以使用泰勒级数展开和极限的性质来计算。

首先，我们知道当 x → 0 时，sin(x) / x 的极限是 1。这是一个常见的极限结果。
将分子和分母中的 a 去掉，我们可以重写上述极限为： lim(x->a) [(sin(x) - sin(a)) / (x - a)]
利用三角恒等式 sin(x) - sin(a) = 2sin[(x-a)/2]cos[(x+a)/2]，我们可以将极限重写为： lim(x->a) [2sin[(x-a)/2]cos[(x+a)/2] / (x - a)]
然后，我们可以对分子进行泰勒级数展开。sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - ...，在这里我们只保留到二阶项： sin[(x-a)/2] = [(x-a)/2] - [((x-a)/2)^3]/3! + ...
将展开结果代入极限表达式中： lim(x->a) [2{[(x-a)/2] - [((x-a)/2)^3]/3! + ...}cos[(x+a)/2] / (x - a)]
化简表达式，并取消 (x - a) 的公因式： lim(x->a) [2cos[(x+a)/2] / 1]
最终结果为： lim(x->a) 2cos[(x+a)/2] = 2cos(a/2)

因此，当 x 趋近于 a 时，(sin(x) - a) / (x - a) 的极限为 2cos(a/2)。