高数习题当x→x0时设α1=oαβ1=oβ且lim求证limx→x0x→x0α存在βα+α1α=limx→x0ββ+β113若当x→0时αx=1+ax21与βx=cosx1是等价无

关的，其中a是常数，求limx→0β(x)α(x)。

证明：

根据题目中的条件，可以得到：

α1=o(α)⇒limx→x0α1/α=0

β1=o(β)⇒limx→x0β1/β=0

又根据题目中所求证的式子，可以得到：

βα+α1α=β(1+α1/α)/(β/α+1)

由于α1/α→0，所以1+α1/α→1，β/α→limx→x0β/α，代入上式得到：

limx→x0βα+α1α=limx→x0β/(β/α+1)=limx→x0βα/β+α/β=1

因此，limx→x0α存在，且有limx→x0βα+α1α=1。

对于第二个问题，可以计算limx→0β(x)α(x)：

limx→0β(x)α(x)=limx→0cosx?1/(1+ax2)?1

由于cosx/x→1，当x→0时，所以有：

limx→0cosx?1=1

又因为1+ax2?1→1，当x→0时，所以有：

limx→01+ax2?1=1

因此，根据极限的乘法法则，有：

limx→0β(x)α(x)=limx→0cosx?1/(1+ax2)?1=1/1=1

因此，limx→0β(x)α(x)=1。