已知x, y, z不等于0，求(x² + y² + z²) / (3xy + 4yz) 的最小值

我们可以使用数学方法来求解这个问题。首先，注意到分子和分母都是平方和的形式，我们可以通过完全平方的方法将其转化为差的形式。

我们可以将分子改写为： x² + y² + z² = (x² + 2xy + y²) + (y² + 2yz + z²) - 2xy - 2yz = (x + y)² + (y + z)² - 2xy - 2yz

将分母改写为： 3xy + 4yz = xy + xy + xy + 2yz + 2yz = 2xy + 4yz

因此，原式可以改写为： (x + y)² + (y + z)² - 2xy - 2yz / (2xy + 4yz)

我们可以将分子和分母分别除以 y²，得到： [(x + y)²/y² + (y + z)²/y² - 2xy/y² - 2yz/y²] / [(2xy + 4yz)/y²]

令 a = x/y，b = z/y，则原式可以继续改写为： (a + 1)² + (1 + b)² - 2a - 2b / (2a + 4b)

我们可以继续简化这个式子： (a + 1)² + (1 + b)² - 2a - 2b / (2a + 4b) = a² + 2a + 1 + b² + 2b + 1 - 2a - 2b / (2a + 4b) = (a² - a) + (b² - b) + 2 / (2a + 4b) = a(a - 1) + b(b - 1) + 2 / (2a + 4b)

我们可以发现，当 a = 1，b = 1 时，分子的值最小，分母的值最大。因此，(x² + y² + z²) / (3xy + 4yz) 的最小值为 2 / (2 + 4) = 2/6 = 1/3。

所以，(x² + y² + z²) / (3xy + 4yz) 的最小值为 1/3。