利用夹逼定理求解函数极限：当x趋近于0时g(x)的极限

利用夹逼定理求解函数极限

问题： 已知 2 - x² ≤ g(x) ≤ 2cos²(x) 对于所有 x 都成立，求 x 趋近于 0 时 g(x) 的极限。

解题思路：

我们可以利用夹逼定理求解此问题。夹逼定理指出，如果存在函数 f(x) 和 h(x)，满足以下条件：

1. 对于所有 x，f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)；
2. lim[f(x)] = lim[h(x)] = L，即 f(x) 和 h(x) 当 x 趋近于 0 时的极限都等于 L；

那么，g(x) 当 x 趋近于 0 时的极限也等于 L。

解题步骤：

1. 找到合适的 f(x) 和 h(x): 在本例中，我们可以取 f(x) = 2 - x² 和 h(x) = 2cos²(x)。

2. 计算 f(x) 和 h(x) 当 x 趋近于 0 时的极限：

   • lim[(2 - x²)] = 2 - 0² = 2
   • lim[(2cos²(x))] = 2cos²(0) = 2

3. 应用夹逼定理： 由于 lim[f(x)] = lim[h(x)] = 2， 且 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 对所有 x 成立， 我们可以得出结论：g(x) 当 x 趋近于 0 时的极限也等于 2。

结论：

因此，lim g(x) = 2 当 x 趋近于 0。