AHSME 1996 题1.3.4：最短路径问题

这道题目要求在不通过给定圆连接起点和终点的所有路径中，找到最短路径的长度。

对于这个问题，我们需要考虑两种可能路径：一种是直接连接起点和终点，另一种是绕过给定圆形。

首先，我们来计算直接连接起点和终点的路径长度。根据两点间的距离公式，我们可以计算出这个长度：

√((12-0)^2 + (16-0)^2) = √(144 + 256) = √400 = 20

接下来，我们来考虑绕过给定圆形的路径。如果我们选择绕过圆形，那么路径一定会比直接连接起点和终点的路径更长。这是因为绕过圆形会增加路径的长度。

现在，我们来证明一下。假设我们通过圆的切点连接起点和终点，形成一条弧线路径。我们可以观察到，这条弧线路径的长度是圆形周长的一部分，而圆形周长是已知的。

根据题目给出的圆的方程(x-6)^2 + (y-8)^2 = 25，我们可以计算出圆形周长：

C = 2πr = 2π√25 = 10π

因此，我们可以确定通过圆的切点连接起点和终点所形成的路径长度一定大于10π。

综上所述，直接连接起点和终点的路径长度为20，而通过圆的切点连接起点和终点所形成的路径长度一定大于10π。因此，最短路径长度为20。

所以，根据题目给出的条件，不能选择走中间的切点弧线路径，最短路径长度为20。