柳叶湖旅游度假区某超市购进一批商品该商品的进价为每件30元如果售价按每件40元出售每个月可卖出300件.市场调查发现:这种商品的售价每上涨2元每月少卖10件.如果超市决定该商品每件的售价高于40元但不超过60元.那么该商品的销售单价定为多少时每月的销售利润最大?最大利润是多少?
设每件商品的售价为$x$元,则每月售出的件数为$300-5\times\frac{x-40}{2}=350-5x$件,每月的销售收入为$350x$元,每月的成本为$30\times 300=9000$元,每月的销售利润为$350x-9000$元。
当售价$x$达到最大利润时,销售利润最大。由于售价必须在40元到60元之间,因此可以列出不等式: $$40\leq x\leq 60$$
将每月的销售利润表示为$x$的函数:$f(x)=350x-9000$,则当$x=50$时,销售利润最大。此时,每月销售利润为$f(50)=\boxed{6500}$元。
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