EMD（Earth Mover's Distance）: 用于度量概率分布差异的数学原理

EMD（Earth Mover's Distance），也称为Wasserstein距离，是一种用于度量两个概率分布之间差异的数学原理。它最早由法国数学家Yann LeCun等人在1990年提出，并在计算机视觉领域得到广泛应用。

EMD的发展背景可以追溯到20世纪中叶，当时数学家们开始探索如何比较两个概率分布的相似性。传统的距离度量方法，如欧氏距离或KL散度，无法很好地处理分布之间的结构差异。因此，研究人员开始考虑如何考虑分布的形状和位置信息。

在这个背景下，EMD应运而生。它基于一个直观的观点，即将一个分布看作是由一定数量的质量集合组成的，而将另一个分布看作是通过将质量从一个位置移动到另一个位置而形成的。EMD的思想是计算两个分布之间将质量从一个位置移动到另一个位置的最小成本。

具体而言，EMD考虑了两个分布之间的距离和'运输计划'，即描述了如何将质量从一点转移到另一点的最佳方法。这个'运输计划'可以被视为是一个最小化总成本的线性规划问题，其中成本是质量的数量与质量从一个位置移动到另一个位置的距离之积。

EMD的发展为比较和匹配不同分布之间的差异提供了一种新的方式。它在计算机视觉、图像处理、模式识别等领域被广泛应用，例如图像检索、目标跟踪、图像生成等任务中。通过EMD，我们可以量化不同分布之间的差异，并找到最佳的质量转移方案，从而提供更准确和有意义的分布比较结果。