将3个球随机地放人4个杯子中问杯子中球的个数的最大值分别为123的概率各是多少？

总共有$4^3=64$种放法。对于球的个数最大值为1的情况，必定有一个杯子中有1个球，另外三个杯子中都没有球。选择放置1个球的杯子有4种选择，放置球的种类有3种选择，因此球的个数最大值为1的情况共有$4\times3=12$种可能。对于球的个数最大值为2的情况，要么有一个杯子中有2个球，另外两个杯子中各有1个球，要么有两个杯子中各有2个球，另外两个杯子中都没有球。对于第一种情况，选择放置2个球的杯子有4种选择，选择球的种类有$\binom{3}{2}=3$种选择，因此这种情况共有$4\times3=12$种可能。对于第二种情况，选择放置2个球的杯子有$\binom{4}{2}=6$种选择，选择球的种类有3种选择，因此这种情况共有$6\times3=18$种可能。因此，球的个数最大值为2的情况共有$12+18=30$种可能。对于球的个数最大值为3的情况，要么有一个杯子中有3个球，另外一个杯子中有1个球，另外两个杯子中都没有球，要么有一个杯子中有2个球，另外两个杯子中各有1个球，要么有三个杯子中各有1个球，另外一个杯子中没有球。对于第一种情况，选择放置3个球的杯子有4种选择，选择球的种类有3种选择，因此这种情况共有$4\times3=12$种可能。对于第二种情况，选择放置2个球的杯子有$\binom{4}{2}=6$种选择，选择球的种类有3种选择，因此这种情况共有$6\times3=18$种可能。对于第三种情况，选择放置1个球的杯子有4种选择，选择球的种类有$\binom{3}{1}=3$种选择，因此这种情况共有$4\times3=12$种可能。因此，球的个数最大值为3的情况共有$12+18+12=42$种可能。因此，球的个数最大值分别为1，2，3的概率分别为$\frac{12}{64}=\frac{3}{16}$，$\frac{30}{64}=\frac{15}{32}$，$\frac{42}{64}=\frac{21}{32}$。