求极值的例题

例题：求函数 $f(x)=x^3-3x^2+4$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要求出函数的导数 $f'(x)=3x^2-6x$，然后找到导数为 $0$ 的点，即：

$$ f'(x)=3x^2-6x=0 $$

解得 $x=0$ 和 $x=2$。接下来，我们需要判断这两个点是否是极值点。

当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$，即函数单调递减；当 $0<x<2$ 时，$f'(x)>0$，即函数单调递增；当 $x>2$ 时，$f'(x)<0$，即函数单调递减。因此，$x=0$ 是函数的极大值点，$x=2$ 是函数的极小值点。

接下来，我们需要求出极值点处的函数值。将 $x=0$ 和 $x=2$ 代入原函数，得到：

$$ f(0)=4,\quad f(2)=-4 $$

因此，函数 $f(x)=x^3-3x^2+4$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值为 $4$，最小值为 $-4$。

总结：求一个函数在某个区间上的最大值和最小值，可以通过求导数、找到导数为 $0$ 的点、判断极值点的单调性，最后求出极值点处的函数值。